Por que o número da caixa é igual ao número de desvios à direita?

Cada desvio move a bola meia largura de caixa para a esquerda ou para a direita. Depois de n desvios, com k à direita e n − k à esquerda, o deslocamento líquido é (k − (n − k))/2 = k − n/2 larguras de caixa a partir do centro. Numerar a caixa da extrema esquerda com 0 (todos os desvios à esquerda) transforma esse deslocamento no índice k da caixa. Assim, a caixa em que a bola cai é só uma contagem de sucessos em n ensaios independentes, que é exatamente a definição de uma variável aleatória binomial.

Por que a pilha é mais alta no meio, e não plana?

Há um único caminho até a caixa da extrema esquerda (esquerda, esquerda, esquerda, …), mas muitos caminhos até as caixas centrais: o número de caminhos até a caixa k é o coeficiente binomial C(n, k), máximo perto de k = n/2. Numa tábua honesta (p = 0,5) cada caminho é igualmente provável, de modo que as probabilidades das caixas são proporcionais a C(n, k) — o triângulo de Pascal. Numa tábua viciada os caminhos deixam de ser igualmente prováveis e a caixa mais provável vai para cerca de np.

Quantas fileiras são necessárias para a curva normal se ajustar?

A binomial fica perto de N(np, np(1 − p)) quando np e n(1 − p) são razoavelmente grandes; uma regra prática comum pede os dois pelo menos de 5 a 10. Para p = 0,5, doze fileiras já dão um bom ajuste, enquanto para p = 0,1 são necessárias muitas fileiras porque a distribuição fica espremida contra a caixa 0 e continua visivelmente assimétrica. O simulador deixa testar isso direto: escolha p = 0,2 com 4 fileiras e depois com 20 fileiras e compare a curva rosa com os marcadores amarelos.

Por que o desvio padrão medido não cresce na proporção do número de fileiras?

Cada desvio acrescenta um passo independente cuja variância é p(1 − p). As variâncias de passos independentes se somam, de modo que depois de n fileiras a variância é np(1 − p) e o desvio padrão é √(np(1 − p)). Dobrar as fileiras multiplica, portanto, a dispersão só por √2 ≈ 1,41, e não por 2. Em relação à largura toda da tábua (n + 1 caixas) a pilha na verdade fica mais estreita quando n cresce, o que é um modo de ver a lei dos grandes números.

Tábua de Galton (máquina de feijões)

Bolas desviam à esquerda/direita por fileiras de pinos; as caixas enchem uma binomial que vira uma curva em sino. Poucas fileiras contra muitas.

Tábua

Fileiras de pinos n12

Probabilidade de desviar à direita p0.5

Ritmo das bolas (fluxo)20 bolas/s

Sobreposições

Esperança binomial B(fileiras, p)Aproximação normal N(np, np(1−p))

Cada bola é uma sequência independente de n ensaios de Bernoulli: em cada pino ela vai para a direita com probabilidade p, de modo que o índice da caixa é o número de desvios à direita e segue B(n, p) exatamente. No máximo 150 bolas são animadas ao mesmo tempo; as demais caem direto nas caixas a partir do mesmo fluxo aleatório com semente. As duas sobreposições são escaladas pelo número de bolas que já estão nas caixas. Mudar n ou p esvazia a tábua; Reiniciar também troca a semente do gerador.

Atalhos de teclado

Espaço / Enter — soltar 100 bolas
P — fluxo liga / pausa
R — reiniciar (semente nova)

Grandezas medidas

Bolas nas caixas N0

Bolas em voo0

Fileiras n12

p (direita)0.50

Média esperada np6.00

DP esperado √(np(1−p))1.732

Média empírica do índice da caixa—

DP empírico do índice da caixa—

Fração na caixa mais cheia—

Sobre o modelo

O simulador modela a máquina de feijões de Galton (quincunce): uma bola solta no topo de um arranjo triangular de n fileiras de pinos encontra exatamente um pino por fileira e é desviada meio passo para a direita com probabilidade p ou para a esquerda com probabilidade 1 − p. Os desvios são independentes entre si e de tudo o que aconteceu antes, de modo que o caminho de uma bola é uma sequência de n ensaios de Bernoulli. Se k dos n desvios vão para a direita, a bola termina k meios passos à direita dos n − k desvios à esquerda, isto é, na caixa de número k contada da esquerda, com k = 0, 1, …, n. O número de bolas na caixa k segue, portanto, a distribuição binomial: com N bolas a contagem esperada é N · C(n, k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, o índice médio da caixa é np e o seu desvio padrão é √(np(1 − p)). Os marcadores amarelos desenham exatamente essa esperança, calculada por logaritmos de fatoriais; a curva rosa é a densidade normal N(np, np(1 − p)) multiplicada por N (largura de caixa 1), que é a aproximação de de Moivre–Laplace da binomial. As duas sobreposições são reescaladas pelo número de bolas que já estão nas caixas, para a comparação com o histograma ser justa a cada instante. As leituras dão a média amostral e o desvio padrão (populacional) dos índices das caixas em que as bolas caíram, ao lado dos valores teóricos np e √(np(1 − p)), e a fração de bolas na caixa mais cheia, que encolhe em direção à maior probabilidade binomial quando n cresce. Simplificações: as bolas não colidem entre si, a forma dos pinos e o tamanho da bola não importam, cada desvio é uma moeda ideal com probabilidade p, e a animação mostra no máximo 150 bolas enquanto as demais entram nas caixas na hora; todas as decisões aleatórias vêm de um único gerador com semente, de modo que uma corrida pode ser repetida depois de Reiniciar, dentro da sessão. Fazer p ≠ 0,5 mostra como uma tábua viciada entorta a pilha e como a aproximação normal piora quando np ou n(1 − p) é pequeno. Simuladores relacionados: statistics/binomial-distribution para a função de probabilidade isolada, statistics/normal-distribution para a curva em sino e os escores z, statistics/central-limit-theorem para somas de muitos passos independentes em geral, e statistics/law-of-large-numbers para como a média empírica se acomoda em np.

Para quem: Do ensino fundamental II à estatística e à probabilidade introdutórias na faculdade (a partir dos 13 anos), como primeiro encontro visual com a distribuição binomial e o seu limite normal.

Conceitos-chave

ensaio de Bernoulli
distribuição binomial
valor esperado np
desvio padrão √(np(1−p))
aproximação normal
teorema de de Moivre–Laplace
independência
histograma

Como funciona

Uma bola solta numa tábua de Galton encontra um pino por fileira e desvia à direita com probabilidade p ou à esquerda com probabilidade 1 − p, de forma independente em cada pino. Depois de n fileiras a bola cai na caixa k, em que k é simplesmente o número de desvios à direita, de modo que as contagens das caixas seguem a distribuição binomial B(n, p), com média np e desvio padrão √(np(1 − p)). Com muitas fileiras a escada das caixas é bem descrita pela curva normal N(np, np(1 − p)) — uma imagem concreta do teorema de de Moivre–Laplace. A simulação ignora colisões entre bolas e a geometria dos pinos: cada desvio é um lançamento ideal de moeda, tirado de um gerador aleatório com semente.

Fórmulas principais

P(K = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, k = número de desvios à direita = índice da caixa

E[K] = n p, DP(K) = √(n p (1 − p))

n grande: contagem esperada na caixa k ≈ N · φ((k − np)/σ) / σ, σ = √(np(1 − p))

Perguntas frequentes

Por que o número da caixa é igual ao número de desvios à direita?: Cada desvio move a bola meia largura de caixa para a esquerda ou para a direita. Depois de n desvios, com k à direita e n − k à esquerda, o deslocamento líquido é (k − (n − k))/2 = k − n/2 larguras de caixa a partir do centro. Numerar a caixa da extrema esquerda com 0 (todos os desvios à esquerda) transforma esse deslocamento no índice k da caixa. Assim, a caixa em que a bola cai é só uma contagem de sucessos em n ensaios independentes, que é exatamente a definição de uma variável aleatória binomial.
Por que a pilha é mais alta no meio, e não plana?: Há um único caminho até a caixa da extrema esquerda (esquerda, esquerda, esquerda, …), mas muitos caminhos até as caixas centrais: o número de caminhos até a caixa k é o coeficiente binomial C(n, k), máximo perto de k = n/2. Numa tábua honesta (p = 0,5) cada caminho é igualmente provável, de modo que as probabilidades das caixas são proporcionais a C(n, k) — o triângulo de Pascal. Numa tábua viciada os caminhos deixam de ser igualmente prováveis e a caixa mais provável vai para cerca de np.
Quantas fileiras são necessárias para a curva normal se ajustar?: A binomial fica perto de N(np, np(1 − p)) quando np e n(1 − p) são razoavelmente grandes; uma regra prática comum pede os dois pelo menos de 5 a 10. Para p = 0,5, doze fileiras já dão um bom ajuste, enquanto para p = 0,1 são necessárias muitas fileiras porque a distribuição fica espremida contra a caixa 0 e continua visivelmente assimétrica. O simulador deixa testar isso direto: escolha p = 0,2 com 4 fileiras e depois com 20 fileiras e compare a curva rosa com os marcadores amarelos.
Por que o desvio padrão medido não cresce na proporção do número de fileiras?: Cada desvio acrescenta um passo independente cuja variância é p(1 − p). As variâncias de passos independentes se somam, de modo que depois de n fileiras a variância é np(1 − p) e o desvio padrão é √(np(1 − p)). Dobrar as fileiras multiplica, portanto, a dispersão só por √2 ≈ 1,41, e não por 2. Em relação à largura toda da tábua (n + 1 caixas) a pilha na verdade fica mais estreita quando n cresce, o que é um modo de ver a lei dos grandes números.

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