Por que o escore de QI 115 tem o mesmo percentil que o escore do SAT 1250?

Os dois estão exatamente um desvio padrão acima da sua média: (115 − 100)/15 = 1 e (1250 − 1050)/200 = 1. O escore z tira as unidades e a escala, e deixa só a quantos desvios padrão um valor está do centro. Toda distribuição normal tem a mesma forma em unidades de z, de modo que uma só tabela de Φ(z) responde perguntas sobre todas elas. Φ(1) = 0,8413, então os dois escores ficam no percentil 84,13.

Se 95 % dos valores ficam em ±2σ, por que o intervalo bicaudal de 95 % usa z = 1,96, e não 2?

O valor ±2σ é uma regra prática arredondada: a probabilidade exata dentro de ±2σ é 95,45 %, não 95 %. Resolver Φ(z) = 0,975 com a normal inversa dá z = 1,95996…, de modo que os 95 % centrais ficam entre −1,96σ e +1,96σ e cada cauda guarda exatamente 2,5 %. Do mesmo modo, o intervalo exato de 99 % usa 2,576, não 3; ±3σ guarda 99,73 %. A regra 68–95–99.7 serve para contas de cabeça, enquanto a normal inversa dá os cortes exatos.

Por que a probabilidade de X ser igual a um valor particular, como exatamente 100, é zero?

Para uma variável contínua, probabilidade é área sob a curva de densidade, e um ponto isolado tem largura zero e, portanto, área zero. P(X = 100) = 0, ainda que 100 seja a região mais provável no sentido de a densidade ser máxima ali. As perguntas que fazem sentido são sobre intervalos: P(99,5 < X < 100,5) ≈ 0,0266 para escores de QI. É também por isso que P(X < x) e P(X ≤ x) são o mesmo número para uma variável normal, e que as áreas da cauda esquerda, da cauda direita e do intervalo somam sempre 1.

Quando solto 200 pontos, por que não obtenho exatamente 136 dentro de ±1σ (68,27 % de 200)?

Cada ponto cai em ±1σ de forma independente com probabilidade 0,6827, de modo que a contagem é uma variável aleatória binomial de média 136,5 e desvio padrão √(200 × 0,6827 × 0,3173) ≈ 6,6. Contagens entre cerca de 123 e 150 são, portanto, resultados comuns, e a parcela observada oscila em cerca de ±3 pontos percentuais em torno de 68,3 %. A regra descreve o limite de uma amostra muito grande, não uma amostra isolada; com n = 20 000 a oscilação encolheria para cerca de ±0,3 pontos. É a lei dos grandes números em ação.

Distribuição normal e escores z

Q: Quando solto 200 pontos, por que não obtenho exatamente 136 dentro de ±1σ (68,27 % de 200)?

Cada ponto cai em ±1σ de forma independente com probabilidade 0,6827, de modo que a contagem é uma variável aleatória binomial de média 136,5 e desvio padrão √(200 × 0,6827 × 0,3173) ≈ 6,6. Contagens entre cerca de 123 e 150 são, portanto, resultados comuns, e a parcela observada oscila em cerca de ±3 pontos percentuais em torno de 68,3 %. A regra descreve o limite de uma amostra muito grande, não uma amostra isolada; com n = 20 000 a oscilação encolheria para cerca de ±0,3 pontos. É a lei dos grandes números em ação.

Curva em sino com μ e σ; caudas sombreadas, a regra 68–95–99.7 e um conversor de escore z embutido x → z = (x − μ)/σ.

Curva em sino N(μ, σ²)

Média μ100

Desvio padrão σ15

Área sombreada

Mostrar faixas 68–95–99.7

Conversor de escore z

x (valor bruto)Percentil (%)

x, o percentil e o marcador rosa são o mesmo valor: edite qualquer um e os outros acompanham.

Φ(z) é calculada a partir da função erro com a aproximação racional de Cody (erro relativo abaixo de 10⁻¹⁵); a inversa, com o algoritmo de Acklam mais um refinamento de Halley. Os 200 pontos soltos são extrações exatas de N(μ, σ²) (Box–Muller) e ficam guardados como escores z, de modo que se movem com a curva quando μ ou σ mudam. A janela mostra sempre μ ± 4σ.

Atalhos de teclado

Espaço / Enter — soltar 200 pontos
R — reiniciar
Arraste o marcador rosa na tela para mover x (e b)

Grandezas medidas

Média μ100.0

Desvio padrão σ15.0

x115.0

z = (x − μ)/σ1.000

Probabilidade sombreada P(X < x)0.84134

Percentil de x = 100·Φ(z)84.13%

Sobre o modelo

O simulador traça a densidade de uma variável aleatória normal (gaussiana) X ~ N(μ, σ²), f(x) = exp(−(x − μ)²/(2σ²)) / (σ√(2π)), na janela μ ± 4σ. A média μ fixa a posição do pico e o desvio padrão σ a largura; a área sob a curva inteira é 1, de modo que qualquer parte sombreada é uma probabilidade. Abaixo do eixo x dos valores brutos, um segundo eixo mostra as mesmas posições como escores z, z = (x − μ)/σ, que levam toda distribuição normal à normal padrão N(0, 1). Todas as probabilidades saem da função de distribuição acumulada da normal padrão Φ(z) = ½·erfc(−z/√2), calculada com a aproximação racional de Chebyshev de W. J. Cody para a função erro complementar (erro relativo abaixo de 10⁻¹⁵, bem dentro dos 10⁻⁷ necessários para concordar com as tabelas de z impressas em todos os algarismos). Há quatro modos de sombreamento: a cauda esquerda P(X < x) = Φ(z); a cauda direita P(X > x) = 1 − Φ(z); a probabilidade bicaudal P(|Z| > |z|) = 2(1 − Φ(|z|)), a quantidade usada em testes bilaterais e intervalos de confiança; e o intervalo P(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(z_a). O marcador na tela, o campo x e o campo do percentil são o mesmo estado, de modo que o conversor funciona nos dois sentidos: x → z → percentil 100·Φ(z), e percentil → z → x = μ + zσ. A inversa Φ⁻¹ usa a aproximação racional de P. J. Acklam seguida de um passo de refinamento de Halley com a Φ precisa, o que a leva à precisão dupla completa (Φ⁻¹(0,975) = 1,959964…). As faixas 68–95–99.7 sombreiam ±1σ, ±2σ e ±3σ e rotulam cada fatia com a sua parcela exata (34,1 %, 13,6 %, 2,1 %, 0,1 %); os totais exatos são 68,27 %, 95,45 % e 99,73 %. Apertar «Soltar 200 pontos» extrai 200 valores independentes de N(μ, σ²) com a transformação de Box–Muller num gerador com semente e os mostra como um diagrama de pontos colorido acima do eixo; as leituras contam quantos caíram em ±1σ, ±2σ e ±3σ, para a regra ser conferida numa amostra finita, que oscila em torno das parcelas teóricas em cerca de ±3 pontos percentuais para n = 200. Simplificações: o modelo é a normal contínua idealizada, sem truncamento, arredondamento nem discretização, de modo que escores reais de QI ou do SAT, inteiros numa escala limitada, só a seguem de forma aproximada; os pontos da amostra são substituídos a cada soltura, em vez de acumulados. Simuladores relacionados: statistics/galton-board e statistics/binomial-distribution (como a curva em sino nasce de muitos passos aleatórios pequenos), statistics/law-of-large-numbers, statistics/confidence-interval e statistics/p-value (que usam as áreas bicaudal e unicaudal desenhadas aqui) e statistics/type-i-ii-errors-power.

Para quem: Ensino médio e estatística do primeiro ano da universidade (AP Statistics, A-level, probabilidade introdutória).

Conceitos-chave

distribuição normal
média μ e desvio padrão σ
escore z
normal padrão Φ(z)
percentil
regra 68–95–99.7
probabilidade de cauda
normal inversa (quantil)

Como funciona

A distribuição normal N(μ, σ²) é a densidade em forma de sino f(x) = exp(−(x − μ)²/2σ²)/(σ√(2π)); μ fixa o centro e σ a largura. Toda variável normal vira a normal padrão pelo escore z z = (x − μ)/σ, e por isso uma só tabela de Φ(z) serve igualmente a escores de QI, alturas e resultados do SAT. A área sombreada sob a curva é uma probabilidade: a cauda esquerda P(X < x) = Φ(z), a cauda direita 1 − Φ(z), a bicaudal P(|Z| > z) = 2(1 − Φ(|z|)) e P(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(z_a). A regra 68–95–99.7 diz que 68,27 %, 95,45 % e 99,73 % da probabilidade ficam em ±1σ, ±2σ e ±3σ; soltar 200 pontos aleatórios mostra quão de perto uma amostra real a segue. A curva em si nunca termina, de modo que nenhum intervalo tem probabilidade exatamente 1 — só a amostra é finita.

Fórmulas principais

f(x) = 1/(σ√(2π)) · exp(−(x − μ)² / (2σ²))

z = (x − μ) / σ ⇔ x = μ + zσ

P(X < x) = Φ(z) = ½ · erfc(−z/√2) · P(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(z_a)

P(|Z| ≤ 1) = 0,6827 P(|Z| ≤ 2) = 0,9545 P(|Z| ≤ 3) = 0,9973

percentil p → z = Φ⁻¹(p/100), p.ex. Φ⁻¹(0,975) = 1,95996

Perguntas frequentes

Por que o escore de QI 115 tem o mesmo percentil que o escore do SAT 1250?: Os dois estão exatamente um desvio padrão acima da sua média: (115 − 100)/15 = 1 e (1250 − 1050)/200 = 1. O escore z tira as unidades e a escala, e deixa só a quantos desvios padrão um valor está do centro. Toda distribuição normal tem a mesma forma em unidades de z, de modo que uma só tabela de Φ(z) responde perguntas sobre todas elas. Φ(1) = 0,8413, então os dois escores ficam no percentil 84,13.
Se 95 % dos valores ficam em ±2σ, por que o intervalo bicaudal de 95 % usa z = 1,96, e não 2?: O valor ±2σ é uma regra prática arredondada: a probabilidade exata dentro de ±2σ é 95,45 %, não 95 %. Resolver Φ(z) = 0,975 com a normal inversa dá z = 1,95996…, de modo que os 95 % centrais ficam entre −1,96σ e +1,96σ e cada cauda guarda exatamente 2,5 %. Do mesmo modo, o intervalo exato de 99 % usa 2,576, não 3; ±3σ guarda 99,73 %. A regra 68–95–99.7 serve para contas de cabeça, enquanto a normal inversa dá os cortes exatos.
Por que a probabilidade de X ser igual a um valor particular, como exatamente 100, é zero?: Para uma variável contínua, probabilidade é área sob a curva de densidade, e um ponto isolado tem largura zero e, portanto, área zero. P(X = 100) = 0, ainda que 100 seja a região mais provável no sentido de a densidade ser máxima ali. As perguntas que fazem sentido são sobre intervalos: P(99,5 < X < 100,5) ≈ 0,0266 para escores de QI. É também por isso que P(X < x) e P(X ≤ x) são o mesmo número para uma variável normal, e que as áreas da cauda esquerda, da cauda direita e do intervalo somam sempre 1.
Quando solto 200 pontos, por que não obtenho exatamente 136 dentro de ±1σ (68,27 % de 200)?: Cada ponto cai em ±1σ de forma independente com probabilidade 0,6827, de modo que a contagem é uma variável aleatória binomial de média 136,5 e desvio padrão √(200 × 0,6827 × 0,3173) ≈ 6,6. Contagens entre cerca de 123 e 150 são, portanto, resultados comuns, e a parcela observada oscila em cerca de ±3 pontos percentuais em torno de 68,3 %. A regra descreve o limite de uma amostra muito grande, não uma amostra isolada; com n = 20 000 a oscilação encolheria para cerca de ±0,3 pontos. É a lei dos grandes números em ação.

Continue com temas próximos desta categoria — ou todos os 10 em «Estatística e probabilidade».

Toda a categoria →

NovoPopularCrianças

Tábua de Galton (máquina de feijões)

Abrir o simulador

Bolas desviam à esquerda/direita por fileiras de pinos; as caixas enchem uma binomial que vira uma curva em sino. Poucas fileiras contra muitas.

NovoCrianças

Correlação de Pearson

Abrir o simulador

Nuvem de pontos com r ajustável, elipse de covariância e uma predefinição de parábola em que r ≈ 0 apesar de uma relação perfeita.

NovoEscola

Valor-p explicado

Abrir o simulador

Estatística de teste sobre a densidade sob a hipótese nula; a cauda sombreada, de um lado ou dos dois, é o valor-p. Por que ele não é a probabilidade de H₀ ser verdadeira.

NovoPopularCrianças

Teorema central do limite

Abrir o simulador

Escolha uma origem (uniforme, exponencial, binomial, dado) e extraia amostras de tamanho n = 1, 5, 30; o histograma das médias fica normal e a dispersão encolhe como σ/√n.

NovoCrianças

Lei dos grandes números

Abrir o simulador

Moeda ou dado: a média acumulada x̄ₙ de várias corridas converge para μ; a faixa ±σ/√n mostra como isso é lento.

NovoCrianças

Distribuição binomial

Abrir o simulador

Barras de P(K = k) para n ensaios com sucesso p; média np, variância np(1−p); predefinições de moeda e de evento raro; normal sobreposta para n grande.