Por que não consigo deixar α e β pequenos os dois só movendo o limiar?

O limiar c só decide onde as duas curvas são cortadas. Movê-lo para a direita encolhe a cauda rosa de H₀ (α), mas aumenta a parte laranja da curva de H₁ abaixo de c (β), e movê-lo para a esquerda faz o inverso. Com as curvas fixas, α e β ficam presos um ao outro por meio de c, e um deles sempre cresce quando o outro encolhe. O único modo de reduzir os dois é afastar as curvas em relação à largura delas — um efeito d maior, um σ menor ou, o que é mais prático, um n maior, que estreita as duas curvas por um fator √n.

Por que a fórmula do tamanho da amostra tem o quadrado de (z₁₋α + z₁₋β)?

Para um poder de 80 % o limiar tem de ficar z₁₋α erros padrão acima de μ₀ e, ao mesmo tempo, z₀,₈ erros padrão abaixo de μ₁. Essas duas distâncias somam o vão d entre as médias, de modo que d = (z₁₋α + z₁₋β)·σ/√n. Isolar n eleva os dois lados ao quadrado: n = ((z₁₋α + z₁₋β)·σ/d)². Para um α unilateral igual a 0,05 e d = 0,5σ, isso dá (1,645 + 0,842)²·4 ≈ 24,7, arredondado para cima até 25; a curva de poder cruza 0,8 exatamente nesse n.

Se α = 0,05, por que os meus 1000 experimentos sob H₀ deram 6,1 % de falsos positivos?

α é a probabilidade, no longo prazo, de um falso positivo, não uma frequência garantida em qualquer lote finito. O número de falsos positivos em 1000 corridas é binomial, com média 50 e desvio padrão √(1000·0,05·0,95) ≈ 6,9, de modo que qualquer valor mais ou menos entre 36 e 64 (de 3,6 % a 6,4 %) fica a menos de dois desvios padrão e é perfeitamente compatível com α = 0,05. Rode o lote várias vezes e as contagens se espalham em torno de 50; o mesmo raciocínio vale para a contagem de falsos negativos em torno de 1000·β.

O que muda quando passo para um teste bilateral?

Um teste bilateral rejeita H₀ sempre que x̄ está longe de μ₀ em qualquer dos dois sentidos, de modo que a cota de α se reparte: cada cauda fica com α/2 e o limiar vai até z₁₋α/2 (1,96 em vez de 1,645, com α = 0,05). Para um efeito positivo d, quase todo o poder vem da cauda direita, de modo que a distância a mais custa poder — com d = 0,5σ e n = 20 o poder cai de cerca de 0,72 para cerca de 0,61 — e são precisas mais amostras para o mesmo alvo de 80 %. A cauda esquerda, pequena, ainda entra na conta do poder, porque uma média amostral muito abaixo de μ₀ também rejeita H₀, ainda que aponte o sentido errado.

Erros tipo I e II e poder do teste

Duas curvas normais (H₀ e H₁), um limiar de decisão; α, β e o poder 1−β como áreas sombreadas; controles de tamanho do efeito, de σ e de n.

Teste de hipóteses

Tamanho do efeito d = μ₁ − μ₀ (em unidades de σ)0.5

σ da população1

Tamanho da amostra n20

Nível de significância α (fixa o limiar c)

Teste bilateral (rejeitar quando |x̄ − μ₀| > c)

A média amostral de n extrações de N(μ, σ²) é exatamente N(μ, σ²/n), de modo que as duas curvas são normais com SE = σ/√n e σ é tratado como conhecido (um teste z, não um teste t). H₀ põe a média em μ₀ = 0 e H₁ em μ₁ = d. Arraste a linha branca na tela para mover o limiar c; as predefinições de α o colocam no quantil normal exato. Φ usa a erfc de Cody (erro < 10⁻¹⁵) e os quantis usam a aproximação de Acklam refinada por passos de Newton.

Verdade × decisão

Rejeitar H₀Não rejeitarH₀ verdadeira

Tipo I · α0.050

acerto · 1−α0.950

H₁ verdadeira

poder · 1−β0.723

Tipo II · β0.277

Atalhos de teclado

Espaço / Enter — rodar 1000 experimentos
R — reiniciar

Grandezas medidas

Tamanho do efeito d0.50σ

σ da população1.00

Tamanho da amostra n20

Erro padrão σ/√n0.2236

Limiar c (rejeitar se x̄ > c)0.3678

z do limiar (c − μ₀)/SE1.645

α = P(rejeitar | H₀)0.0500

β = P(não rejeitar | H₁)0.2772

Poder 1−β0.7228

n para poder de 80 %25

n para poder de 90 %35

Sobre o modelo

O simulador mostra as duas distribuições amostrais em que se apoia todo teste de uma média. Sob a hipótese nula H₀ a média da população é μ₀ = 0; sob a alternativa H₁ ela é μ₁ = d, em que o tamanho do efeito d se mede em unidades do desvio padrão da população σ. Para uma amostra de n extrações independentes de N(μ, σ²), a média amostral x̄ é exatamente normal, com a mesma média e erro padrão SE = σ/√n, de modo que as duas são curvas em sino da mesma largura, afastadas de d. A regra de decisão é um limiar c: rejeita-se H₀ quando x̄ > c (unilateral), ou quando |x̄ − μ₀| > c na variante bilateral. A cauda rosa da curva de H₀ além de c é a probabilidade do erro tipo I, α = 1 − Φ((c − μ₀)/SE); a parte laranja da curva de H₁ abaixo de c é a probabilidade do erro tipo II, β = Φ((c − μ₁)/SE); o que resta, em verde, é o poder 1 − β. No caso bilateral o poder é calculado sobre as duas caudas de rejeição, 1 − Φ((c − μ₁)/SE) + Φ((−c − μ₁)/SE). As predefinições de α colocam c no quantil normal exato c = μ₀ + z₁₋α·SE (z₁₋α/2 no bilateral); arrastar c recalcula α e β direto pelas mesmas fórmulas. Φ é avaliada com a aproximação racional de Cody para a erfc, e os quantis com o algoritmo de Acklam refinado por passos de Newton, de modo que os números impressos são exatos até a precisão mostrada. A curva de poder traça 1 − β contra n num eixo logarítmico, para o α e o d atuais, e os tamanhos de amostra necessários para poder de 80 % e de 90 % seguem a forma fechada n = ⌈((z₁₋α + z₁₋β)·σ/d)²⌉. A camada empírica extrai 1000 amostras de tamanho n sob cada hipótese, com um gerador com semente, aplica o limiar e informa as taxas observadas de falso positivo e de falso negativo ao lado de α e de β; a dispersão delas em torno da teoria é ela própria binomial, com desvio padrão √(p(1−p)/1000). Simplificações: σ é suposto conhecido (um teste z), de modo que se omite a correção pela t de Student para um desvio padrão estimado; a alternativa é um único valor pontual, e não uma hipótese composta; e a fórmula bilateral do tamanho da amostra usa z₁₋α/2, ignorando a cauda distante, que é desprezível. Simuladores vizinhos: statistics/normal-distribution, para Φ e escores z; statistics/central-limit-theorem, para explicar por que x̄ é normal; statistics/confidence-interval, para a visão dual dos mesmos quantis; e statistics/binomial-distribution, para a dispersão das taxas empíricas.

Para quem: Estatística do ensino médio e do primeiro ano da universidade (AP Statistics, A-level, cursos introdutórios de inferência).

Conceitos-chave

hipótese nula
hipótese alternativa
erro tipo I (α)
erro tipo II (β)
poder do teste
limiar de decisão / valor crítico
erro padrão σ/√n
tamanho do efeito

Como funciona

Um teste de hipóteses compara a média amostral x̄ com um limiar de decisão c: se x̄ cai além de c, rejeita-se H₀ (μ = 0) em favor de H₁ (μ = d). Como o x̄ de n extrações de N(μ, σ²) é ele próprio normal, com erro padrão σ/√n, as duas distribuições amostrais são curvas em sino da mesma largura, deslocadas pelo tamanho do efeito d. A cauda rosa é o erro tipo I α — rejeitar uma H₀ verdadeira — e a área laranja é o erro tipo II β — não rejeitar quando H₁ é verdadeira; a área verde é o poder 1 − β. Mover c troca α por β; o único modo de encolher os dois é estreitar as curvas, aumentando n ou reduzindo σ, e é isso que a curva de poder e o tamanho de amostra em forma fechada n = ((z₁₋α + z₁₋β)σ/d)² quantificam. O modelo supõe σ conhecido (um teste z); com σ estimado pela amostra, a distribuição t tomaria o lugar da normal.

Fórmulas principais

x̄ ~ N(μ, σ²/n), SE = σ/√n

c = μ₀ + z₁₋α · SE (bilateral: z₁₋α/2)

α = P(x̄ > c | H₀) = 1 − Φ((c − μ₀)/SE)

β = P(x̄ ≤ c | H₁) = Φ((c − μ₁)/SE), poder = 1 − β

poder bilateral = 1 − Φ((c − μ₁)/SE) + Φ((−c − μ₁)/SE)

n = ⌈((z₁₋α + z₁₋β) · σ / d)²⌉

Perguntas frequentes

Por que não consigo deixar α e β pequenos os dois só movendo o limiar?: O limiar c só decide onde as duas curvas são cortadas. Movê-lo para a direita encolhe a cauda rosa de H₀ (α), mas aumenta a parte laranja da curva de H₁ abaixo de c (β), e movê-lo para a esquerda faz o inverso. Com as curvas fixas, α e β ficam presos um ao outro por meio de c, e um deles sempre cresce quando o outro encolhe. O único modo de reduzir os dois é afastar as curvas em relação à largura delas — um efeito d maior, um σ menor ou, o que é mais prático, um n maior, que estreita as duas curvas por um fator √n.
Por que a fórmula do tamanho da amostra tem o quadrado de (z₁₋α + z₁₋β)?: Para um poder de 80 % o limiar tem de ficar z₁₋α erros padrão acima de μ₀ e, ao mesmo tempo, z₀,₈ erros padrão abaixo de μ₁. Essas duas distâncias somam o vão d entre as médias, de modo que d = (z₁₋α + z₁₋β)·σ/√n. Isolar n eleva os dois lados ao quadrado: n = ((z₁₋α + z₁₋β)·σ/d)². Para um α unilateral igual a 0,05 e d = 0,5σ, isso dá (1,645 + 0,842)²·4 ≈ 24,7, arredondado para cima até 25; a curva de poder cruza 0,8 exatamente nesse n.
Se α = 0,05, por que os meus 1000 experimentos sob H₀ deram 6,1 % de falsos positivos?: α é a probabilidade, no longo prazo, de um falso positivo, não uma frequência garantida em qualquer lote finito. O número de falsos positivos em 1000 corridas é binomial, com média 50 e desvio padrão √(1000·0,05·0,95) ≈ 6,9, de modo que qualquer valor mais ou menos entre 36 e 64 (de 3,6 % a 6,4 %) fica a menos de dois desvios padrão e é perfeitamente compatível com α = 0,05. Rode o lote várias vezes e as contagens se espalham em torno de 50; o mesmo raciocínio vale para a contagem de falsos negativos em torno de 1000·β.
O que muda quando passo para um teste bilateral?: Um teste bilateral rejeita H₀ sempre que x̄ está longe de μ₀ em qualquer dos dois sentidos, de modo que a cota de α se reparte: cada cauda fica com α/2 e o limiar vai até z₁₋α/2 (1,96 em vez de 1,645, com α = 0,05). Para um efeito positivo d, quase todo o poder vem da cauda direita, de modo que a distância a mais custa poder — com d = 0,5σ e n = 20 o poder cai de cerca de 0,72 para cerca de 0,61 — e são precisas mais amostras para o mesmo alvo de 80 %. A cauda esquerda, pequena, ainda entra na conta do poder, porque uma média amostral muito abaixo de μ₀ também rejeita H₀, ainda que aponte o sentido errado.

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