Por que r é quase zero na parábola, mesmo com y completamente determinado por x?

O r de Pearson mede só a associação linear: o quanto uma reta descreve bem a nuvem. Para y = x² num intervalo simétrico, os pontos com x negativo ficam no quadrante −+ e os pontos com x positivo ficam no quadrante ++, de modo que os produtos positivos e negativos (x − x̄)(y − ȳ) se cancelam e a covariância fica perto de zero. A relação é perfeita, mas não é linear, então r não a enxerga. Olhar o diagrama de dispersão antes de confiar em r é essencial; uma razão de correlação, ou uma medida baseada em postos, detectaria essa dependência — o r de Pearson, não.

Como um único ponto pode mudar r de 0 para 0,6?

Cada termo da covariância é um produto de dois desvios em relação às médias, de modo que um ponto longe das duas médias contribui com um produto enorme, enquanto os pontos comuns contribuem com produtos pequenos. Com uma nuvem sem correlação, de variância cerca de 1, e um ponto em (a, a), a correlação vale mais ou menos a² / (N + a²); para a² = 1,5 N isso dá cerca de 0,6, qualquer que seja N. O mesmo ponto também infla s_x e s_y, mas a covariância cresce mais depressa. Por isso se diz que r não é robusto: um erro de medida ou um caso especial pode dominar o número, e convém conferir esses pontos antes de interpretar r.

Qual é a diferença entre covariância e correlação?

A covariância s_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)/(N − 1) carrega as unidades de x vezes as unidades de y, de modo que o tamanho dela depende da escala de medida: medir a altura em centímetros, em vez de metros, a multiplica por 100. Dividir pelos dois desvios padrão tira as unidades e dá r = s_xy / (s_x s_y), que fica sempre entre −1 e +1 e não muda com qualquer reescala linear de x ou de y. A covariância diz o sinal e a força bruta da variação conjunta; a correlação põe isso numa escala comum, que se pode comparar entre conjuntos de dados.

Se duas grandezas têm r = 0,9, uma causa a outra?

Não. A correlação descreve como dois conjuntos de números variam juntos, não o porquê. Um r alto é compatível com x causando y, com y causando x, com os dois movidos por uma terceira variável (as vendas de sorvete e os afogamentos sobem juntos no verão) ou com um efeito de seleção na maneira como os dados foram coletados. A predefinição dos dois aglomerados mostra outra armadilha: r ≈ 0,96 surge só porque os dois grupos diferem nas duas variáveis, enquanto dentro de cada grupo não há relação alguma. Estabelecer causalidade pede um experimento controlado ou um argumento causal cuidadoso, não um coeficiente de correlação.

Correlação de Pearson

Nuvem de pontos com r ajustável, elipse de covariância e uma predefinição de parábola em que r ≈ 0 apesar de uma relação perfeita.

Nuvem de pontos

Correlação alvo ρ0.7

Número de pontos N100

Predefinições (substituem o gerador)

Mostrar elipse de covariância 1σMostrar reta dos mínimos quadrados

Os pontos são extraídos de uma distribuição normal bivariada de variâncias unitárias: x ~ N(0,1), y = ρx + √(1−ρ²)·ε com ε ~ N(0,1), de modo que a correlação da população é exatamente ρ e o r amostral se espalha em torno dela. As predefinições substituem esse gerador; mover o controle ρ volta a ele. r mede só a associação linear; uma parábola pode dar r ≈ 0, um ponto discrepante pode afastar r do resto dos dados, e a correlação nunca mostra causalidade. Arraste qualquer ponto, ou clique num espaço vazio para acrescentar um — r se atualiza ao vivo.

Atalhos de teclado

Espaço / Enter — nuvem aleatória nova (mesmos ajustes)
R — reiniciar aos padrões
Arraste um ponto · clique num espaço vazio para acrescentar um ponto

Grandezas medidas

Pontos N0

r de Pearson—

r²—

Covariância s_xy—

Desvio padrão s_x—

Desvio padrão s_y—

Pontos nos quadrantes ++ / −−0

Pontos nos quadrantes +− / −+0

Sobre o modelo

O simulador desenha uma nuvem de N pontos e informa o coeficiente de correlação amostral de Pearson. Por padrão os pontos vêm de uma distribuição normal bivariada de variâncias unitárias: x ~ N(0, 1), ε ~ N(0, 1) e y = ρx + √(1 − ρ²)·ε, a construção de Cholesky de um passo, de modo que a correlação da população entre x e y é exatamente o valor ρ do controle. O valor amostral r é calculado pela fórmula padrão, com as médias em duas passagens: primeiro x̄ = Σxᵢ/N e ȳ = Σyᵢ/N, depois r = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / √(Σ(xᵢ − x̄)² · Σ(yᵢ − ȳ)²). As leituras dão também a covariância amostral s_xy = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)/(N − 1), os desvios padrão amostrais s_x e s_y com o mesmo denominador N − 1, r² e, quando a reta está ligada, a inclinação dos mínimos quadrados b = s_xy / s_x² = r·s_y/s_x. As linhas tracejadas das médias dividem o plano em quatro quadrantes; um ponto no quadrante ++ ou −− contribui com um termo positivo (xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) para a covariância e é desenhado em ciano, um ponto no quadrante +− ou −+ contribui com um termo negativo e é desenhado em rosa, e aparecem as contagens dos dois grupos. A elipse verde é o contorno de 1σ da normal bivariada ajustada: os eixos são as raízes quadradas dos autovalores da matriz de covariância [[s_x², s_xy], [s_xy, s_y²]] e o ângulo de inclinação é θ = ½·atan2(2s_xy, s_x² − s_y²). As predefinições trocam o gerador por casos que mostram os limites de r: uma parábola y = x² em x ∈ [−1, 1] com pouco ruído, em que y é uma função determinística de x e ainda assim r ≈ 0; uma nuvem sem correlação mais um único ponto distante em (√1,5N, √1,5N), que sozinho eleva r a cerca de 0,6; e dois aglomerados apertados, internamente sem correlação, cuja separação produz r ≈ 0,96. Os pontos podem ser arrastados e acrescentados com um clique, e cada estatística é recalculada de forma exata a cada mudança. Simplificações: não se mostra inferência (nem valor-p nem intervalo de confiança para r, nem a transformação z de Fisher); a reta de regressão é só uma sobreposição — o próprio ajuste por mínimos quadrados é tratado em math/least-squares e a qualidade do ajuste em math/linear-regression-metrics — e o gráfico se reescala sozinho aos dados, de modo que a elipse pode parecer circular ou fina conforme a amplitude dos eixos. Simuladores vizinhos: statistics/normal-distribution, para a distribuição marginal de x e de y; statistics/central-limit-theorem, para explicar por que médias de muitos pontos se comportam de forma normal.

Para quem: Ensino médio (10.º–12.º ano) e estatística introdutória do primeiro ano da universidade; serve também a cursos de fundamentos de ciência de dados.

Conceitos-chave

coeficiente de correlação de Pearson r
covariância
desvio padrão
associação linear
coeficiente de determinação r²
ponto discrepante
distribuição normal bivariada
correlação e causalidade

Como funciona

O coeficiente de correlação de Pearson r mede quão de perto uma nuvem de pontos segue uma reta: r = Σ(x − x̄)(y − ȳ) / √(Σ(x − x̄)² · Σ(y − ȳ)²), sempre entre −1 e 1. As linhas tracejadas marcam as médias x̄ e ȳ; um ponto no quadrante ++ ou −− (ciano) contribui com um produto positivo para a covariância, um ponto no quadrante +− ou −+ (rosa) com um negativo, e r é simplesmente a covariância dividida pelos dois desvios padrão. A elipse 1σ verde é inclinada pela covariância e vira uma diagonal fina quando |r| → 1. r descreve só a associação linear: a predefinição Parábola é uma relação perfeita y = x² com r ≈ 0, um único ponto discrepante distante pode levar r de 0 a 0,6, e dois aglomerados separados dão um r alto sem relação dentro de nenhum dos dois. Um r alto, por si só, nunca mostra que x causa y.

Fórmulas principais

r = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / √( Σ(xᵢ − x̄)² · Σ(yᵢ − ȳ)² ) = s_xy / (s_x s_y)

s_xy = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / (N − 1), s_x² = Σ(xᵢ − x̄)² / (N − 1)

gerador: x ~ N(0,1), ε ~ N(0,1), y = ρx + √(1 − ρ²) ε ⇒ corr(x, y) = ρ

inclinação dos mínimos quadrados b = s_xy / s_x² = r · s_y / s_x

elipse 1σ: eixos √λ₁, √λ₂ da matriz de covariância [[s_x², s_xy], [s_xy, s_y²]], ângulo θ = ½·atan2(2 s_xy, s_x² − s_y²)

Perguntas frequentes

Por que r é quase zero na parábola, mesmo com y completamente determinado por x?: O r de Pearson mede só a associação linear: o quanto uma reta descreve bem a nuvem. Para y = x² num intervalo simétrico, os pontos com x negativo ficam no quadrante −+ e os pontos com x positivo ficam no quadrante ++, de modo que os produtos positivos e negativos (x − x̄)(y − ȳ) se cancelam e a covariância fica perto de zero. A relação é perfeita, mas não é linear, então r não a enxerga. Olhar o diagrama de dispersão antes de confiar em r é essencial; uma razão de correlação, ou uma medida baseada em postos, detectaria essa dependência — o r de Pearson, não.
Como um único ponto pode mudar r de 0 para 0,6?: Cada termo da covariância é um produto de dois desvios em relação às médias, de modo que um ponto longe das duas médias contribui com um produto enorme, enquanto os pontos comuns contribuem com produtos pequenos. Com uma nuvem sem correlação, de variância cerca de 1, e um ponto em (a, a), a correlação vale mais ou menos a² / (N + a²); para a² = 1,5 N isso dá cerca de 0,6, qualquer que seja N. O mesmo ponto também infla s_x e s_y, mas a covariância cresce mais depressa. Por isso se diz que r não é robusto: um erro de medida ou um caso especial pode dominar o número, e convém conferir esses pontos antes de interpretar r.
Qual é a diferença entre covariância e correlação?: A covariância s_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)/(N − 1) carrega as unidades de x vezes as unidades de y, de modo que o tamanho dela depende da escala de medida: medir a altura em centímetros, em vez de metros, a multiplica por 100. Dividir pelos dois desvios padrão tira as unidades e dá r = s_xy / (s_x s_y), que fica sempre entre −1 e +1 e não muda com qualquer reescala linear de x ou de y. A covariância diz o sinal e a força bruta da variação conjunta; a correlação põe isso numa escala comum, que se pode comparar entre conjuntos de dados.
Se duas grandezas têm r = 0,9, uma causa a outra?: Não. A correlação descreve como dois conjuntos de números variam juntos, não o porquê. Um r alto é compatível com x causando y, com y causando x, com os dois movidos por uma terceira variável (as vendas de sorvete e os afogamentos sobem juntos no verão) ou com um efeito de seleção na maneira como os dados foram coletados. A predefinição dos dois aglomerados mostra outra armadilha: r ≈ 0,96 surge só porque os dois grupos diferem nas duas variáveis, enquanto dentro de cada grupo não há relação alguma. Estabelecer causalidade pede um experimento controlado ou um argumento causal cuidadoso, não um coeficiente de correlação.

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