O que significam as cores diferentes no conjunto de Mandelbrot?

Os pontos escuros: a órbita ficou limitada no número de passos dado (candidato ao conjunto). As demais cores: quantas iterações foram precisas para |z| ultrapassar o raio de escape. É um mapa da rapidez de fuga, não a «altura» do conjunto.

Em que o conjunto de Julia difere do de Mandelbrot?

A mesma equação z ← z² + c, papéis distintos. Mandelbrot: z₀ = 0 e c percorre o plano. Julia: c fixo e z₀ percorre o plano. Um ponto c interior ao Mandelbrot dá um conjunto de Julia conexo; do lado de fora, «poeira».

Por que no floco de Koch o perímetro é infinito e a área não?

Em cada passo cada segmento é trocado por quatro de comprimento 1/3: o perímetro multiplica-se por 4/3 e cresce sem limite. Os triângulos que se acrescentam logo ficam muito pequenos, por isso a área converge.

Fractais: Mandelbrot, Julia, Koch

Conjunto de Mandelbrot, conjunto de Julia e floco de neve de Koch. Iterações z ← z² + c; a escala, com a roda.

Sobre o modelo

Fractais: o conjunto de Mandelbrot e os conjuntos de Julia constroem-se pela iteração z_{n+1} = z_n² + c no plano complexo. No Mandelbrot, c é o ponto do plano e z₀ = 0; o ponto pertence ao conjunto se a órbita permanece limitada. No Julia o parâmetro c fica fixo e muda-se o z₀ inicial. A cor é o número de iterações até |z| > R (tempo de escape); o escuro — a órbita não saiu no número de passos dado. O floco de neve de Koch é outra construção: cada segmento é trocado por uma poligonal de quatro trechos; o perímetro cresce e a área permanece finita. O número de iterações e o raio de escape são finitos: é uma aproximação da fronteira verdadeira. A vista desloca-se com o mouse e a escala, com a roda; no Koch muda-se a profundidade da recursão.

Para quem: Números complexos e sistemas dinâmicos: iterações, limitação da órbita, autossimilaridade.

Conceitos-chave

conjunto de Mandelbrot
conjunto de Julia
floco de neve de Koch
número complexo
iteração
tempo de escape
autossimilaridade

Como funciona

Mandelbrot: z₀ = 0, c percorre o pixel, z ← z² + c. Julia: c fixo, z₀ é o pixel. A cor é o número de passos até sair do raio R. O floco de neve de Koch constrói-se ao trocar cada segmento por uma poligonal; a profundidade da recursão fixa o detalhe. O arrastar desloca a vista; a roda muda a escala.

Fórmulas principais

Mandelbrot: z₀ = 0, zₙ₊₁ = zₙ² + c (c percorre o plano)

Julia: c fixo, z₀ = pixel, zₙ₊₁ = zₙ² + c

Perguntas frequentes

O que significam as cores diferentes no conjunto de Mandelbrot?: Os pontos escuros: a órbita ficou limitada no número de passos dado (candidato ao conjunto). As demais cores: quantas iterações foram precisas para |z| ultrapassar o raio de escape. É um mapa da rapidez de fuga, não a «altura» do conjunto.
Em que o conjunto de Julia difere do de Mandelbrot?: A mesma equação z ← z² + c, papéis distintos. Mandelbrot: z₀ = 0 e c percorre o plano. Julia: c fixo e z₀ percorre o plano. Um ponto c interior ao Mandelbrot dá um conjunto de Julia conexo; do lado de fora, «poeira».
Por que no floco de Koch o perímetro é infinito e a área não?: Em cada passo cada segmento é trocado por quatro de comprimento 1/3: o perímetro multiplica-se por 4/3 e cresce sem limite. Os triângulos que se acrescentam logo ficam muito pequenos, por isso a área converge.

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