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Início/Visualização matemática/Jogo do caos (Sierpiński)

Jogo do caos (Sierpiński)

Escolha aleatória de um vértice do triângulo e passo até o ponto médio: a nuvem converge ao triângulo de Sierpiński. A cor segundo o vértice mostra as três partes autossemelhantes.

Execução

1800
0.14

O jogo do caos restrito (ao vértice, no ponto médio) converge ao triângulo perfurado. Compare o monocromático e o RGB — aparece a partição autossemelhante.

Atalhos de teclado

  • •Espaço / Enter — pausa / continuar
  • •R — zerar o acúmulo

Grandezas medidas

Total de iterações0

Sobre o modelo

O jogo do caos constrói o triângulo de Sierpiński como atrator de um sistema de funções iteradas. Fixam-se três vértices de um triângulo equilátero; o ponto inicial é o baricentro. Em cada passo escolhe-se, com igual probabilidade, um vértice V_k, e o ponto atual vai ao ponto médio do segmento: P ← (P + V_k)/2. As três contrações afins f_k(x) = (x + V_k)/2 têm um único compacto invariante — o triângulo de Sierpiński; no limite ideal a dimensão de Hausdorff vale log 3 / log 2. A coloração pelo índice do vértice parte o desenho em três cópias autossemelhantes. Os pontos acumulam-se no raster: pode-se mudar a «força da tinta» e o número de iterações por quadro. O acaso escolhe só o mapa; a geometria do atrator é determinística.

Para quem: Escola e início da faculdade: fractais, probabilidade, iterações.

Conceitos-chave

  • jogo do caos
  • triângulo de Sierpiński
  • sistema de funções iteradas
  • contração afim
  • atrator
  • autossemelhança
  • dimensão fractal

Como funciona

O jogo do caos no triângulo equilátero: a partir do ponto P escolhe-se um vértice aleatório V_k e faz-se P ← (P + V_k)/2. A iteração infinita das três contrações dá o triângulo de Sierpiński. A cor pelo índice do vértice mostra como as três partes autossemelhantes se colam no desenho inteiro.

Fórmulas principais

P ← (P + V_k) / 2 , k ∈ {0,1,2} uniforme

Perguntas frequentes

Por que uma regra aleatória dá sempre a mesma figura?
O acaso escolhe só qual contração aplicar. Quase toda sequência infinita de escolhas preenche o único compacto invariante do sistema — o triângulo de Sierpiński, e não uma mancha difusa.
É preciso começar estritamente dentro do triângulo?
De qualquer ponto inicial, depois de um transiente, a nuvem entra visualmente no triângulo; um começo longe deixa uma cauda mais longa. Começar no baricentro tira o rastro inicial visível.
O que muda se desligar a cor por vértice?
O mesmo atrator, sem a partição em três cores: o monocromático acentua a densidade; a cor, como se colam as três cópias autossemelhantes.
A mesma regra num quadrado com quatro vértices?
Com o passo «ao vértice aleatório, até o ponto médio», a nuvem no quadrado em geral preenche a região com mais densidade e não converge a um fractal fino. As três contrações do triângulo equilátero é que são especiais aqui.