Por que as cores dependem do número de iterações?

Os pixels cuja órbita escapa mais cedo recebem cor diferente dos que demoram perto do conjunto. A coloração suave interpola o raio de escape e reduz as faixas do contador inteiro de iterações.

Um aumento infinito revela estrutura nova o tempo todo?

Localmente o conjunto é autossimilar: cópias minúsculas do conjunto de Mandelbrot e enfeites filamentosos se repetem em todas as escalas. Na prática a precisão em ponto flutuante e o teto de iterações cedo ou tarde param o cálculo ingênuo.

O interior preto é exatamente o conjunto de Mandelbrot?

Na prática o preto marca pontos que não escaparam no número de iterações reservado. Alguns pontos exteriores que escapam muito devagar podem ser classificados errado até se aumentar o teto.

Conjunto de Mandelbrot

Aumento profundo do conjunto de Mandelbrot: arrastar e roda do mouse, coloração contínua e marcos com nome.

Sobre o modelo

O conjunto de Mandelbrot é o conjunto dos parâmetros complexos c para os quais a iteração z_{n+1} = z_n² + c, com z₀ = 0, permanece limitada. O mapa é construído pelo tempo de escape: cada pixel é colorido pelo número de iterações até sair do raio de escape, com suavização fracionária para não haver faixas do contador inteiro. Arrastar e a roda do mouse mudam o retângulo de visão; há marcos para cópias em miniatura conhecidas do conjunto e para os filamentos. O modelo é o mapa quadrático clássico, não uma família de grau maior nem o conjunto de Julia; o limite finito de iterações só aproxima o conjunto verdadeiro. Em escalas pequenas vê-se a autossimilaridade; a precisão da aritmética real e o teto de iterações cedo ou tarde limitam o cálculo ingênuo.

Para quem: Dinâmica complexa e computação gráfica: iterações z² + c, fractais.

Conceitos-chave

conjunto de Mandelbrot
tempo de escape
iteração complexa
fractal
coloração contínua
mapa quadrático

Como funciona

O conjunto de Mandelbrot é o dos c cuja órbita z_{n+1}=z_n²+c, z₀=0, permanece limitada. Cada pixel do plano complexo é um c; a cor é o tempo de escape (número de iterações até |z|>R) com suavização fracionária. As regiões pretas são pontos que não escaparam no limite dado. Arrastar e a roda mudam a janela; no aumento fundo aparecem cópias em miniatura do conjunto e filamentos.

Fórmulas principais

zₙ₊₁ = zₙ² + c, z₀ = 0

M = { c ∈ ℂ : supₙ |zₙ| < ∞ }

μ = n + 1 − log₂ log₂ |zₙ| (smooth iter)

Perguntas frequentes

Por que as cores dependem do número de iterações?: Os pixels cuja órbita escapa mais cedo recebem cor diferente dos que demoram perto do conjunto. A coloração suave interpola o raio de escape e reduz as faixas do contador inteiro de iterações.
Um aumento infinito revela estrutura nova o tempo todo?: Localmente o conjunto é autossimilar: cópias minúsculas do conjunto de Mandelbrot e enfeites filamentosos se repetem em todas as escalas. Na prática a precisão em ponto flutuante e o teto de iterações cedo ou tarde param o cálculo ingênuo.
O interior preto é exatamente o conjunto de Mandelbrot?: Na prática o preto marca pontos que não escaparam no número de iterações reservado. Alguns pontos exteriores que escapam muito devagar podem ser classificados errado até se aumentar o teto.

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