Por que o pacote do estado coerente não se espalha como um gaussiano livre?

No oscilador harmônico os níveis são equidistantes, de modo que as fases relativas das componentes com n diferentes voltam a coincidir a cada período. O estado coerente é um gaussiano de incerteza mínima com a largura do estado fundamental; o potencial restaurador mantém σ = 1/√2 enquanto o centro oscila. No espaço livre não há esse potencial e o pacote se espalha.

O ⟨x⟩(t) é exatamente clássico?

Para um estado coerente num poço puramente harmônico, o teorema de Ehrenfest dá equações fechadas para ⟨x⟩ e ⟨p⟩ que coincidem com as leis de Newton, de modo que ⟨x⟩(t) = √2 |α| cos(ωt − φ_α) coincide com a órbita clássica. A anarmonicidade faria as médias quânticas se afastarem de uma só trajetória clássica.

O que acontece se |α| for muito pequeno?

Estado coerente do oscilador harmônico

Pacote gaussiano do estado coerente |α⟩ num poço harmônico unidimensional: a largura σ = 1/√2 é constante e o centro percorre a órbita clássica ⟨x⟩(t) = √2|α|cos(ωt − φ_α).

Sobre o modelo

O estado coerente |α⟩ no oscilador harmônico quântico unidimensional é um pacote gaussiano de largura fixa σ = 1/√2 (em unidades ħ = m = ω = 1) cujo centro segue a órbita clássica ⟨x⟩(t) = √2 |α| cos(ωt − φ_α). Ao lado: um ponto no espaço de fases, a densidade |ψ(x,t)|² e o traço ⟨x⟩(t). O modelo é um estado coerente puro num poço harmônico ideal: sem anarmonicidade, sem decoerência e sem compressão. Os parâmetros |α| e φ_α fixam o raio da órbita e a fase inicial; a forma do pacote não se espalha e a média segue o movimento harmônico clássico.

Para quem: Mecânica quântica e óptica quântica de graduação e início do mestrado: estados coerentes e o limite clássico do oscilador.

Conceitos-chave

estado coerente
oscilador harmônico
pacote de onda gaussiano
valor médio
órbita clássica
espaço de fases

Como funciona

O estado coerente |α⟩ é um gaussiano com a largura do estado fundamental, σ = 1/√2. O centro do pacote percorre ⟨x⟩(t) = √2|α|cos(ωt − φ_α); no espaço de fases é uma circunferência de raio |α|. A equidistância dos níveis ħω(n+½) impede o espalhamento. Na tela: |ψ(x,t)|², um marcador no plano de fases e o gráfico ⟨x⟩(t).

Perguntas frequentes

Por que o pacote do estado coerente não se espalha como um gaussiano livre?: No oscilador harmônico os níveis são equidistantes, de modo que as fases relativas das componentes com n diferentes voltam a coincidir a cada período. O estado coerente é um gaussiano de incerteza mínima com a largura do estado fundamental; o potencial restaurador mantém σ = 1/√2 enquanto o centro oscila. No espaço livre não há esse potencial e o pacote se espalha.
O ⟨x⟩(t) é exatamente clássico?: Para um estado coerente num poço puramente harmônico, o teorema de Ehrenfest dá equações fechadas para ⟨x⟩ e ⟨p⟩ que coincidem com as leis de Newton, de modo que ⟨x⟩(t) = √2 |α| cos(ωt − φ_α) coincide com a órbita clássica. A anarmonicidade faria as médias quânticas se afastarem de uma só trajetória clássica.
O que acontece se |α| for muito pequeno?: Quando |α| → 0 o estado tende ao fundamental |0⟩: o centro na origem e |ψ|² o gaussiano do vácuo. Um |α| finito só desloca o mesmo pacote ao longo de uma elipse clássica maior; não há um limiar em que o movimento «de repente se torne clássico».

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