Warum zerfließt das Paket, wenn α ≠ 0 ist?

Bei α ≠ 0 hat jede Harmonische ihre eigene Phasengeschwindigkeit. Zur Zeit t = 0 fielen die Maxima zusammen und bildeten den Höcker; mit der Zeit laufen schnelle Anteile voraus, langsame bleiben zurück — die Hülle wird breiter, die Höhe kleiner.

Worin unterscheidet sich die Phasengeschwindigkeit von der Gruppengeschwindigkeit?

Die Phase v_p = ω/k ist die Geschwindigkeit der Berge einer einzelnen Sinuswelle. Die Gruppe v_g = dω/dk ist die Geschwindigkeit der Pakethülle und des Energietransports. Im dispersiven Medium sind sie verschieden. Das Maximum der Gauß-Hülle läuft mit v_g.

Warum zerfließt der Impuls auf der idealen Saite nicht?

Die Wellengleichung ∂²Ψ/∂t² = c² ∂²Ψ/∂x² liefert ω = ck: alle Harmonischen laufen mit derselben Geschwindigkeit c. Die Form jedes Profils bleibt erhalten. Das ist die Idealisierung einer biegeweichen, homogenen Saite.

Wellenpaket und Dispersion

Überlagerung cos(kx − ωt); ω = ck + αk²; Zerfließen des Pakets im Vergleich zur Seilwelle.

Diagramme

Zum Modell

Wellenpaket und Dispersion: eine lokalisierte Störung aus der Überlagerung von Harmonischen cos(kx − ωt) mit gaußförmiger Hülle in k. Die Dispersion setzt das Gesetz ω = ck + αk². Bei α = 0 ist die Phasengeschwindigkeit ω/k = c für alle k dieselbe — das Paket läuft, ohne zu zerfließen, wie auf der idealen Saite. Bei α ≠ 0 haben verschiedene k verschiedene Geschwindigkeiten, die Hülle zerfließt. Die Gruppengeschwindigkeit v_g = dω/dk = c + 2αk trägt die Energie des Pakets, die Phasengeschwindigkeit v_p = ω/k die Wellenberge. Das Medium ist eindimensional, verlustfrei.

Für wen: Wellen im ersten Semester: Überlagerung, Dispersion, Phasen- und Gruppengeschwindigkeit.

Wichtige Begriffe

Wellenpaket
Dispersionsrelation
Phasengeschwindigkeit
Gruppengeschwindigkeit
Überlagerung
Dispersion

So funktioniert es

Das Paket ist die Summe von Sinuswellen mit dem Gesetz ω(k) = ck + αk². Bei α = 0 läuft die Hülle unverzerrt, wie auf der idealen Saite. Bei α ≠ 0 laufen die Anteile in der Phase auseinander — das Paket zerfließt. Auf dem Bildschirm das Profil η(x,t) und die Kurve ω(k). Die Seilwelle mit festem Ende ist eine andere Aufgabe: dort gibt es Rand und Reflexionen.

Wichtige Gleichungen

η(x,t) = Σₙ Aₙ cos(kₙx − ω(kₙ)t), ω(k) = ck + αk²

v_p = ω/k, v_g = dω/dk = c + 2αk

Häufige Fragen

Warum zerfließt das Paket, wenn α ≠ 0 ist?: Bei α ≠ 0 hat jede Harmonische ihre eigene Phasengeschwindigkeit. Zur Zeit t = 0 fielen die Maxima zusammen und bildeten den Höcker; mit der Zeit laufen schnelle Anteile voraus, langsame bleiben zurück — die Hülle wird breiter, die Höhe kleiner.
Worin unterscheidet sich die Phasengeschwindigkeit von der Gruppengeschwindigkeit?: Die Phase v_p = ω/k ist die Geschwindigkeit der Berge einer einzelnen Sinuswelle. Die Gruppe v_g = dω/dk ist die Geschwindigkeit der Pakethülle und des Energietransports. Im dispersiven Medium sind sie verschieden. Das Maximum der Gauß-Hülle läuft mit v_g.
Warum zerfließt der Impuls auf der idealen Saite nicht?: Die Wellengleichung ∂²Ψ/∂t² = c² ∂²Ψ/∂x² liefert ω = ck: alle Harmonischen laufen mit derselben Geschwindigkeit c. Die Form jedes Profils bleibt erhalten. Das ist die Idealisierung einer biegeweichen, homogenen Saite.

Verwandte Themen in der Nähe (auch aus benachbarten Bereichen) — oder alle 37 in „Wellen und Schall“.

Ganze Kategorie →

NeuSchule

Gruppen- und Phasengeschwindigkeit

Simulation starten

Schwebungen zweier Wellen bei der Dispersion ω(k) = ck + αk²: die Einhüllende läuft mit v_g = Δω/Δk, die Berge mit v_p = ω̄/k̄.

NeuHochschule / Forschung

Gaußsches Wellenpaket

Simulation starten

Freies Zerfließen: Breite σ(t) aus der Dispersion bei ℏ = m = 1; Orts- und Impulsunschärfe.

NeuSchule

Dispersion von Wasserwellen ω(k)

Simulation starten

Schwerewellen auf Wasser: Flachwassergrenze ω = k√(gh), Tiefwasser ω = √(gk) und die volle Beziehung ω² = gk tanh(kh).

NeuSchule

Mach-Kegel

Simulation starten

M = v/c > 1: Huygens-Konstruktion und Kegel sin μ = 1/M; keine Stoßwellenrechnung im Gas.

NeuSchule

Kelvin-Kielwelle

Simulation starten

V-förmiges Kielwasser auf Tiefwasser: Strahlen unter arcsin(1/3) ≈ 19,47° zum Kurs auf jeder Seite; der Winkel hängt nicht von der Fahrtgeschwindigkeit ab.

Schule

Stehende Wellen

Simulation starten

Stehende Wellen auf der fest eingespannten Saite: Harmonische, Knoten und Schwingungsbäuche.

Wellenpaket und Dispersion

Diagramme

Zum Modell

So funktioniert es

Wichtige Gleichungen

Häufige Fragen

Ähnliche Simulationen

Gruppen- und Phasengeschwindigkeit

Gaußsches Wellenpaket

Dispersion von Wasserwellen ω(k)

Mach-Kegel

Kelvin-Kielwelle

Stehende Wellen

Wellenpaket und Dispersion

Diagramme

Zum Modell

So funktioniert es

Wichtige Gleichungen

Häufige Fragen