¿Por qué el paquete se ensancha cuando α ≠ 0?

Si α ≠ 0 cada armónico tiene su propia velocidad de fase. En t = 0 los picos coinciden y forman el lomo; con el tiempo las componentes rápidas se adelantan y las lentas se quedan: la envolvente es más ancha y más baja.

¿En qué se diferencia la velocidad de fase de la de grupo?

La de fase v_p = ω/k es la velocidad de las crestas de una sola senoidal. La de grupo v_g = dω/dk es la de la envolvente del paquete y del transporte de energía. En un medio dispersivo no coinciden. El pico de una envolvente gaussiana viaja con v_g.

¿Por qué en una cuerda ideal el pulso no se ensancha?

La ecuación de ondas ∂²Ψ/∂t² = c² ∂²Ψ/∂x² da ω = ck: todos los armónicos corren a la misma velocidad c. Se conserva la forma de cualquier perfil. Es la idealización de una cuerda flexible y homogénea.

Paquete de ondas y dispersión

Superposición de cos(kx − ωt); ω = ck + αk²; el paquete se ensancha frente a la onda en una cuerda.

Gráficas

Sobre el modelo

Un paquete de ondas es una perturbación localizada hecha de la superposición de armónicos cos(kx − ωt) con envolvente gaussiana en k. La dispersión entra por la ley ω = ck + αk². Si α = 0 la velocidad de fase ω/k = c es la misma para todo k: el paquete viaja sin ensancharse, como en una cuerda ideal. Si α ≠ 0 cada k tiene su velocidad y la envolvente se ensancha. La velocidad de grupo v_g = dω/dk = c + 2αk lleva la energía del paquete; la de fase v_p = ω/k, las crestas. El medio es unidimensional y sin pérdidas.

Para quién: Ondas de facultad: superposición, dispersión, velocidad de fase y de grupo.

Conceptos clave

paquete de ondas
relación de dispersión
velocidad de fase
velocidad de grupo
superposición
dispersión

Cómo funciona

El paquete es una suma de senoidales con la ley ω(k) = ck + αk². Si α = 0 la envolvente viaja sin deformarse, como en una cuerda ideal. Si α ≠ 0 las componentes se desfasan y el paquete se ensancha. En pantalla, el perfil η(x,t) y la curva ω(k). La onda en una cuerda con un extremo fijo es otro problema: allí hay frontera y reflexiones.

Fórmulas principales

η(x,t) = Σₙ Aₙ cos(kₙx − ω(kₙ)t), ω(k) = ck + αk²

v_p = ω/k, v_g = dω/dk = c + 2αk

Preguntas frecuentes

¿Por qué el paquete se ensancha cuando α ≠ 0?: Si α ≠ 0 cada armónico tiene su propia velocidad de fase. En t = 0 los picos coinciden y forman el lomo; con el tiempo las componentes rápidas se adelantan y las lentas se quedan: la envolvente es más ancha y más baja.
¿En qué se diferencia la velocidad de fase de la de grupo?: La de fase v_p = ω/k es la velocidad de las crestas de una sola senoidal. La de grupo v_g = dω/dk es la de la envolvente del paquete y del transporte de energía. En un medio dispersivo no coinciden. El pico de una envolvente gaussiana viaja con v_g.
¿Por qué en una cuerda ideal el pulso no se ensancha?: La ecuación de ondas ∂²Ψ/∂t² = c² ∂²Ψ/∂x² da ω = ck: todos los armónicos corren a la misma velocidad c. Se conserva la forma de cualquier perfil. Es la idealización de una cuerda flexible y homogénea.

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