Por que o pacote se alarga quando α ≠ 0?

Se α ≠ 0 cada harmônico tem a sua velocidade de fase. Em t = 0 os picos coincidem e formam o monte; com o tempo as componentes rápidas adiantam-se e as lentas ficam para trás — a envoltória fica mais larga e mais baixa.

Em que a velocidade de fase difere da de grupo?

A de fase v_p = ω/k é a velocidade das cristas de uma só senóide. A de grupo v_g = dω/dk é a da envoltória do pacote e do transporte de energia. Num meio dispersivo elas não coincidem. O pico de uma envoltória gaussiana viaja com v_g.

Por que numa corda ideal o pulso não se alarga?

A equação de onda ∂²Ψ/∂t² = c² ∂²Ψ/∂x² dá ω = ck: todos os harmônicos correm com a mesma velocidade c. Conserva-se a forma de qualquer perfil. É a idealização de uma corda flexível e homogênea.

Pacote de ondas e dispersão

Superposição de cos(kx − ωt); ω = ck + αk²; o pacote alarga-se em comparação com a onda numa corda.

Gráficos

Sobre o modelo

Um pacote de ondas é uma perturbação localizada feita da superposição de harmônicos cos(kx − ωt) com envoltória gaussiana em k. A dispersão entra pela lei ω = ck + αk². Se α = 0 a velocidade de fase ω/k = c é a mesma para todo k — o pacote viaja sem alargar-se, como numa corda ideal. Se α ≠ 0 cada k tem a sua velocidade e a envoltória alarga-se. A velocidade de grupo v_g = dω/dk = c + 2αk carrega a energia do pacote; a de fase v_p = ω/k, as cristas. O meio é unidimensional e sem perdas.

Para quem: Ondas na graduação: superposição, dispersão, velocidade de fase e de grupo.

Conceitos-chave

pacote de ondas
relação de dispersão
velocidade de fase
velocidade de grupo
superposição
dispersão

Como funciona

O pacote é uma soma de senoides com a lei ω(k) = ck + αk². Se α = 0 a envoltória viaja sem deformar-se, como numa corda ideal. Se α ≠ 0 as componentes se defasam — o pacote alarga-se. Na tela, o perfil η(x,t) e a curva ω(k). A onda numa corda com extremidade fixa é outro problema: ali há fronteira e reflexões.

Fórmulas principais

η(x,t) = Σₙ Aₙ cos(kₙx − ω(kₙ)t), ω(k) = ck + αk²

v_p = ω/k, v_g = dω/dk = c + 2αk

Perguntas frequentes

Por que o pacote se alarga quando α ≠ 0?: Se α ≠ 0 cada harmônico tem a sua velocidade de fase. Em t = 0 os picos coincidem e formam o monte; com o tempo as componentes rápidas adiantam-se e as lentas ficam para trás — a envoltória fica mais larga e mais baixa.
Em que a velocidade de fase difere da de grupo?: A de fase v_p = ω/k é a velocidade das cristas de uma só senóide. A de grupo v_g = dω/dk é a da envoltória do pacote e do transporte de energia. Num meio dispersivo elas não coincidem. O pico de uma envoltória gaussiana viaja com v_g.
Por que numa corda ideal o pulso não se alarga?: A equação de onda ∂²Ψ/∂t² = c² ∂²Ψ/∂x² dá ω = ck: todos os harmônicos correm com a mesma velocidade c. Conserva-se a forma de qualquer perfil. É a idealização de uma corda flexível e homogênea.

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