Почему пакет расплывается, когда α ≠ 0?

При α ≠ 0 у каждой гармоники своя фазовая скорость. В t = 0 пики совпали и собрали горб; со временем быстрые компоненты уходят вперёд, медленные отстают — огибающая шире, высота меньше.

Чем фазовая скорость отличается от групповой?

Фазовая v_p = ω/k — скорость гребней одной синусоиды. Групповая v_g = dω/dk — скорость огибающей пакета и переноса энергии. В диспергирующей среде они разные. Пик гауссовой огибающей едет с v_g.

Почему на идеальной струне импульс не расплывается?

Волновое уравнение ∂²Ψ/∂t² = c² ∂²Ψ/∂x² даёт ω = ck: все гармоники бегут с одной скоростью c. Форма любого профиля сохраняется. Это идеализация гибкой однородной струны.

Волновой пакет и дисперсия

Суперпозиция cos(kx − ωt); ω = ck + αk²; расплывание пакета по сравнению с волной на струне.

Графики

О модели

Волновой пакет — локализованное возмущение из суперпозиции гармоник cos(kx − ωt) с гауссовой огибающей по k. Дисперсия задаётся законом ω = ck + αk². При α = 0 фазовая скорость ω/k = c одна для всех k — пакет едет, не расплываясь, как на идеальной струне. При α ≠ 0 разные k имеют разные скорости, огибающая расплывается. Групповая скорость v_g = dω/dk = c + 2αk несёт энергию пакета, фазовая v_p = ω/k — гребни. Среда одномерная, без потерь.

Для кого: Вузовские волны: суперпозиция, дисперсия, фазовая и групповая скорость.

Ключевые понятия

волновой пакет
дисперсионное соотношение
фазовая скорость
групповая скорость
суперпозиция
дисперсия

Как это работает

Пакет — сумма синусоид с законом ω(k) = ck + αk². При α = 0 огибающая едет без искажений, как на идеальной струне. При α ≠ 0 компоненты расходятся по фазе — пакет расплывается. На экране профиль η(x,t) и кривая ω(k). Волна на струне с закреплённым концом — другая задача: там есть граница и отражения.

Основные формулы

η(x,t) = Σₙ Aₙ cos(kₙx − ω(kₙ)t), ω(k) = ck + αk²

v_p = ω/k, v_g = dω/dk = c + 2αk

Часто задаваемые вопросы

Почему пакет расплывается, когда α ≠ 0?: При α ≠ 0 у каждой гармоники своя фазовая скорость. В t = 0 пики совпали и собрали горб; со временем быстрые компоненты уходят вперёд, медленные отстают — огибающая шире, высота меньше.
Чем фазовая скорость отличается от групповой?: Фазовая v_p = ω/k — скорость гребней одной синусоиды. Групповая v_g = dω/dk — скорость огибающей пакета и переноса энергии. В диспергирующей среде они разные. Пик гауссовой огибающей едет с v_g.
Почему на идеальной струне импульс не расплывается?: Волновое уравнение ∂²Ψ/∂t² = c² ∂²Ψ/∂x² даёт ω = ck: все гармоники бегут с одной скоростью c. Форма любого профиля сохраняется. Это идеализация гибкой однородной струны.

Близкие темы рядом (в том числе из смежных разделов) — или все 37 в «Волны и звук».

Вся категория →

НовоеШкольные