Warum sammelt sich der Sand auf den Knoten und nicht in den Schwingungsbäuchen?

Die Platte schwingt quer zu ihrer Ebene. In den Schwingungsbäuchen ist die Beschleunigung am größten — die Körner werden hochgeworfen. Auf den Knotenlinien ist die Auslenkung null: dorthin rutschen die Teilchen und bleiben.

Was bedeuten die Zahlen m und n?

Wie viele Halbwellen längs der Quadratseiten Platz haben. Bei der Mode (2, 1) liegen zwei Halbwellen in x und eine in y. Im Innern der Platte gibt es m−1 Knotenlinien parallel zur y-Achse und n−1 parallel zur x-Achse.

Warum ist das Bild auf einer Geige nicht so regelmäßig?

Das Sinusprodukt gilt genau nur für ein Quadrat mit gelenkig gelagerten Rändern. Kreis, freier Rand, Geigendecke liefern andere Eigenfunktionen. Knoten gibt es auch dort, aber die Linien sind gekrümmt.

Chladni-Figuren

Mode einer quadratischen Platte sin(mπx/L)sin(nπy/L); der Sand verlässt die Schwingungsbäuche und sammelt sich auf den Knotenlinien.

Zum Modell

Chladni-Figuren: Sand oder Salz auf einer schwingenden Platte sammelt sich dort, wo die Platte sich nicht bewegt. Für eine dünne quadratische Platte der Seitenlänge L mit gelenkig gelagerten Rändern hat die Auslenkung der Mode (m, n) die Form ψ ∝ sin(mπx/L) sin(nπy/L); die Frequenzen wachsen ungefähr wie m² + n². In den Schwingungsbäuchen ist die Beschleunigung groß — die Körner werden hochgeworfen; auf den Knotenlinien ist die Auslenkung null — sie bleiben liegen. Auf dem Bildschirm eine Farbkarte der Mode und die Drift der Teilchen zu den Knoten. Dämpfung, Nichtlinearität und die freien Ränder einer echten Chladni-Platte bleiben unberücksichtigt.

Für wen: Schwingungen und Wellen im ersten Semester: Normalschwingungen einer Platte, Knoten und Schwingungsbäuche.

Wichtige Begriffe

Chladni-Figuren
stehende Welle
Normalschwingung
Knotenlinie
Schwingungsbauch
Resonanz

So funktioniert es

Auf einer resonierenden Platte verlässt der Sand die Schwingungsbäuche und sammelt sich auf den Knotenlinien, wo die Biegemode ruht. Für ein Quadrat mit gelenkig gelagerten Rändern gilt ψ ∝ sin(mπx/L) sin(nπy/L). Auf dem Bildschirm eine Karte der Auslenkung und die Drift der Körner zu den Knoten — Schema einer Mode, keine vollständige Plattenrechnung.

Häufige Fragen

Warum sammelt sich der Sand auf den Knoten und nicht in den Schwingungsbäuchen?: Die Platte schwingt quer zu ihrer Ebene. In den Schwingungsbäuchen ist die Beschleunigung am größten — die Körner werden hochgeworfen. Auf den Knotenlinien ist die Auslenkung null: dorthin rutschen die Teilchen und bleiben.
Was bedeuten die Zahlen m und n?: Wie viele Halbwellen längs der Quadratseiten Platz haben. Bei der Mode (2, 1) liegen zwei Halbwellen in x und eine in y. Im Innern der Platte gibt es m−1 Knotenlinien parallel zur y-Achse und n−1 parallel zur x-Achse.
Warum ist das Bild auf einer Geige nicht so regelmäßig?: Das Sinusprodukt gilt genau nur für ein Quadrat mit gelenkig gelagerten Rändern. Kreis, freier Rand, Geigendecke liefern andere Eigenfunktionen. Knoten gibt es auch dort, aber die Linien sind gekrümmt.

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