Warum ist mein D̂ nicht gleich 1,71?

1,71 ist eine Extrapolation für große Cluster auf dem unendlichen Gitter; endlicher Kasten, eine Realisierung und wenige Kastengrößen ergeben Streuung. Mittelung über Realisierungen mindert das Rauschen, hier bleibt D̂ didaktisch.

Ist das dasselbe wie DLA im kontinuierlichen Raum?

Dieselbe Haftregel beim ersten Kontakt, aber die Schritte laufen auf dem Quadratgitter. Kontinuierliche Varianten gehören zur selben Universalitätsklasse, Anisotropie und Korrekturen der endlichen Größe sind jedoch andere.

Warum das Wachstum bei etwa 42 % Füllung stoppen?

An den Wänden werden die Irrfahrten stark verzerrt; das Wachstum wird langsamer und weniger „frei“. Die Begrenzung hält die Darstellung flüssig und anschaulich.

Diffusionsbegrenzte Aggregation (DLA)

Irrfahrten haften beim ersten Kontakt mit dem Keim auf dem Quadratgitter; verzweigtes fraktales Wachstum, in 2D Massendimension D ≈ 1,71.

Zum Modell

Diffusionsbegrenzte Aggregation (Witten–Sander-Modell): auf dem Gitter wird ein Keim festgehalten, danach startet man ungerichtete Irrfahrten vom Rand (oder von einem Ring um den Cluster). Das Teilchen haftet beim ersten Berühren des Aggregats. Die Zweigspitzen fangen den größeren Diffusionsstrom ab, daher ist das Wachstum verzweigt, nicht kompakt. In 2D liegt die Massendimension in der Literatur bei D ≈ 1,71. Das Wachstum auf dem Gitter 121×121 wird vor der fast vollen Füllung gestoppt; die Schätzung D̂ kommt aus der Überdeckung mit Quadraten und ist bei kleinen Größen verrauscht.

Für wen: Statistische Physik und weiche Materie: Irrfahrt, fraktales Wachstum.

Wichtige Begriffe

diffusionsbegrenzte Aggregation
Witten–Sander-Modell
Irrfahrt
fraktale Dimension
harmonisches Maß
Überdeckung mit Quadraten

So funktioniert es

Keim in der Mitte; unabhängige Irrfahrten vom Rand (oder von einem Ring um den Cluster) bis zur ersten Nachbarschaft mit dem Aggregat — der Platz haftet. Das Wachstum ist verzweigt; D̂ aus der Überdeckung mit Quadraten vergleicht man mit dem Literaturwert D ≈ 1,71 in 2D. Das Wachstum stoppt vor der fast vollen Füllung.

Wichtige Gleichungen

Growth probability at tip scales with harmonic measure of diffusion; mean-field Flory-type exponent in 2D is D ≈ 5/3, while simulations give D ≈ 1.71. Box-counting on a finite cluster gives a noisy D̂.

Häufige Fragen

Warum ist mein D̂ nicht gleich 1,71?: 1,71 ist eine Extrapolation für große Cluster auf dem unendlichen Gitter; endlicher Kasten, eine Realisierung und wenige Kastengrößen ergeben Streuung. Mittelung über Realisierungen mindert das Rauschen, hier bleibt D̂ didaktisch.
Ist das dasselbe wie DLA im kontinuierlichen Raum?: Dieselbe Haftregel beim ersten Kontakt, aber die Schritte laufen auf dem Quadratgitter. Kontinuierliche Varianten gehören zur selben Universalitätsklasse, Anisotropie und Korrekturen der endlichen Größe sind jedoch andere.
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