Случайные блуждания прилипают при первом контакте с зародышевым кластером на квадратной решётке; ветвистый фрактальный рост, в 2D массовая размерность D ≈ 1,71 и грубая D̂ по бокс-счёту.
О модели
Диффузионно-ограниченная агрегация (DLA) строит случайный фрактальный кластер на решётке: фиксируется зародыш, затем выпускаются не смещённые случайные блуждания с границы ящика (или, когда кластер велик, с «кольца» сразу вне его ограничивающего прямоугольника), и частица «прилипает» при первом касании агрегата. Это дискретный аналог диффузионного поля на поглощающей границе: кончики ветвей получают больший поток диффузии, поэтому рост ветвистый, а не компактный. В 2D массовая фрактальная размерность по литературе близка к D ≈ 1,71 (часто сравнивают с среднеполевым показателем Флори 5/3). Симулятор рисует рост на решётке 121×121, останавливается до почти полного заполнения и показывает грубую D̂ по бокс-счёту — на малых размерах ожидайте шум.
Для кого: Студенты статфизики и мягкой материи, знакомые со случайным блужданием.
Ключевые понятия
DLA
Модель Виттена–Сэндера
Случайное блуждание
Фрактальная размерность
Гармоническая мера
Бокс-счёт
Как это работает
Зародыш в центре; независимые блуждания с границы (или с кольца вокруг кластера) до первого соседства с агрегатом — узел прилипает. Рост ветвистый; D̂ по бокс-счёту сравнивают с литературным D ≈ 1,71 в 2D. Рост останавливается до почти полного заполнения.
Основные формулы
Growth probability at tip scales with harmonic measure of diffusion; mean-field Flory-type exponent in 2D is D ≈ 5/3, while simulations give D ≈ 1.71. Box-counting on a finite cluster gives a noisy D̂.
Часто задаваемые вопросы
Почему моя D̂ не равна 1,71?
1,71 — экстраполяция для больших кластеров на бесконечной решётке; конечный ящик, одна реализация и мало размеров коробок дают разброс. Усреднение по реализациям уменьшает шум, но здесь D̂ учебная.
Это то же самое, что DLA в непрерывном пространстве?
Тот же принцип прилипания при первом контакте, но шаги — по квадратной решётке. Непрерывные варианты дают ту же универсальность класса, но анизотропия и поправки конечного размера другие.
Зачем останавливать рост при ~42% заполнения?
У стенок блуждания сильно искажаются; рост замедляется и меньше похож на «свободный» режим. Ограничение сохраняет отзывчивость и наглядность.