- ¿Por qué no puedo dejar pequeños a la vez α y β solo con mover el umbral?
- El umbral c solo decide por dónde se cortan las dos curvas. Moverlo a la derecha encoge la cola rosa de H₀ (α) pero agranda la parte naranja de la curva de H₁ por debajo de c (β), y moverlo a la izquierda hace lo contrario. Con las curvas fijas, α y β quedan ligados por c, y uno de los dos siempre crece cuando el otro se reduce. La única forma de reducir los dos es separar las curvas respecto de su ancho: un efecto d mayor, una σ menor o, lo más práctico, un n mayor, que estrecha las dos curvas por un factor √n.
- ¿Por qué la fórmula del tamaño de muestra lleva el cuadrado de (z₁₋α + z₁₋β)?
- Para una potencia del 80 % el umbral tiene que quedar z₁₋α errores estándar por encima de μ₀ y, a la vez, z₀,₈ errores estándar por debajo de μ₁. Esas dos distancias suman el hueco d entre las medias, así que d = (z₁₋α + z₁₋β)·σ/√n. Al despejar n se elevan al cuadrado los dos miembros: n = ((z₁₋α + z₁₋β)·σ/d)². Para un α = 0,05 de una cola y d = 0,5σ sale (1,645 + 0,842)²·4 ≈ 24,7, redondeado hacia arriba a 25; la curva de potencia cruza 0,8 exactamente en ese n.
- Si α = 0,05, ¿por qué mis 1000 experimentos bajo H₀ dieron un 6,1 % de falsos positivos?
- α es la probabilidad a la larga de un falso positivo, no una frecuencia garantizada en una tanda finita. El número de falsos positivos en 1000 corridas es binomial de media 50 y desviación estándar √(1000·0,05·0,95) ≈ 6,9, así que cualquier valor entre unos 36 y 64 (del 3,6 % al 6,4 %) cae dentro de dos desviaciones estándar y encaja del todo con α = 0,05. Repita la tanda varias veces y los recuentos se dispersan alrededor de 50; el mismo razonamiento vale para el recuento de falsos negativos alrededor de 1000·β.
- ¿Qué cambia al pasar a un contraste de dos colas?
- Un contraste de dos colas rechaza H₀ siempre que x̄ quede lejos de μ₀ en cualquiera de los dos sentidos, así que el presupuesto de α se reparte: cada cola recibe α/2 y el umbral se aleja hasta z₁₋α/2 (1,96 en vez de 1,645 con α = 0,05). Con un efecto positivo d casi toda la potencia sale de la cola derecha, así que la distancia de más cuesta potencia: con d = 0,5σ y n = 20 la potencia baja de cerca de 0,72 a cerca de 0,61, y hacen falta más muestras para el mismo objetivo del 80 %. La cola izquierda, pequeña, sigue contando en la potencia, porque una media muestral muy por debajo de μ₀ también rechaza H₀, aunque apunte en el sentido equivocado.