- Warum kann ich α und β nicht beide klein machen, nur indem ich die Schwelle verschiebe?
- Die Schwelle c legt nur fest, wo die beiden Kurven geschnitten werden. Schiebt man sie nach rechts, schrumpft die rosa H₀-Flanke (α), der orange Teil der H₁-Kurve unterhalb von c (β) wächst aber, und nach links ist es umgekehrt. Bei festen Kurven hängen α und β über c zusammen, und eine von beiden wächst immer, wenn die andere schrumpft. Beide zugleich verkleinern kann man nur, indem man die Kurven relativ zu ihrer Breite auseinanderzieht — ein größeres d, ein kleineres σ oder, am praktischsten, ein größeres n, das beide Kurven um den Faktor √n schmaler macht.
- Warum steht in der Formel für die Stichprobengröße das Quadrat von (z₁₋α + z₁₋β)?
- Für 80 % Teststärke muss die Schwelle z₁₋α Standardfehler über μ₀ liegen und zugleich z₀,₈ Standardfehler unter μ₁. Diese beiden Abstände ergeben zusammen den Abstand d der Mittel, also d = (z₁₋α + z₁₋β)·σ/√n. Löst man nach n auf, werden beide Seiten quadriert: n = ((z₁₋α + z₁₋β)·σ/d)². Bei einseitigem α = 0,05 und d = 0,5σ ergibt das (1,645 + 0,842)²·4 ≈ 24,7, aufgerundet 25; die Teststärkekurve schneidet 0,8 genau bei diesem n.
- Wenn α = 0,05 ist, warum haben meine 1000 Experimente unter H₀ dann 6,1 % falsch positive ergeben?
- α ist die Wahrscheinlichkeit eines falsch positiven Ergebnisses auf lange Sicht, keine garantierte Häufigkeit in einer endlichen Serie. Die Zahl der falsch positiven unter 1000 Läufen ist binomial mit Mittel 50 und Standardabweichung √(1000·0,05·0,95) ≈ 6,9, alles etwa von 36 bis 64 (3,6 % bis 6,4 %) liegt also innerhalb von zwei Standardabweichungen und passt zu α = 0,05. Führt man die Serie mehrmals aus, streuen die Anzahlen um 50; dieselbe Überlegung gilt für die Zahl der falsch negativen um 1000·β.
- Was ändert sich, wenn ich auf einen zweiseitigen Test umschalte?
- Ein zweiseitiger Test lehnt H₀ ab, sobald x̄ in irgendeiner Richtung weit von μ₀ entfernt ist, das α wird also aufgeteilt: jede Flanke bekommt α/2, und die Schwelle rückt auf z₁₋α/2 hinaus (1,96 statt 1,645 bei α = 0,05). Bei einem positiven Effekt d kommt fast die ganze Teststärke aus der rechten Flanke, der zusätzliche Abstand kostet also Teststärke — bei d = 0,5σ und n = 20 fällt sie von etwa 0,72 auf etwa 0,61 — und für dasselbe Ziel von 80 % braucht man mehr Stichproben. Die kleine linke Flanke zählt trotzdem zur Teststärke, weil ein Stichprobenmittel weit unter μ₀ ebenfalls H₀ ablehnt, auch wenn es in die falsche Richtung zeigt.