La distribución de origen es plana (o sesgada, o de dos jorobas). ¿Por qué las medias forman igual una campana?

Una media muestral suma n contribuciones independientes, y una suma de muchas piezas pequeñas e independientes queda dominada por cómo se combinan esas piezas, no por la forma de una sola. Matemáticamente, la función característica de la suma estandarizada tiende a la de la normal estándar siempre que el origen tenga varianza finita. La forma del origen solo controla la rapidez: en la uniforme el histograma de medias ya está cerca de la normal con n = 5, la exponencial necesita en torno a n = 30 para que se desvanezca la cola derecha, y el origen bimodal se ve normal cuando n es lo bastante grande como para que una media promedie valores de las dos jorobas. Con n = 1 el histograma de medias es el propio origen, y por eso ese ajuste es el punto de partida natural.

¿Por qué la dispersión de las medias se reduce como σ/√n y no como σ/n?

Las varianzas de variables independientes se suman. La suma x₁ + … + xₙ tiene varianza nσ², y al dividir la suma por n la varianza se divide por n², y queda σ²/n. La raíz cuadrada da la desviación estándar de la media, σ/√n, llamada error estándar. Así, cuadruplicar n solo reduce la dispersión a la mitad: conviene comparar n = 5 con n = 20, o leer el error estándar teórico y la DE empírica de las medias en los indicadores. Coinciden cuando se han reunido unos cientos de medias.

¿Qué diferencia hay entre el tamaño de muestra n y el número de medias reunidas?

Hacen papeles distintos. El tamaño de muestra n es cuántos valores del origen se promedian para formar una media; decide la forma y el ancho de la distribución muestral, mediante el error estándar σ/√n y el teorema central del límite. El número de medias reunidas decide cuán bien el histograma muestra esa distribución muestral: con 20 medias el histograma es irregular y con 1000 es suave. Aumentar el número de medias nunca estrecha el histograma; solo aumentar n lo estrecha.

¿De dónde salen los valores exactos de μ y σ de cada distribución de origen?

Salen de las definiciones E[X] = ∫x f(x) dx (o Σx p(x)) y σ² = E[X²] − μ². Para U(0,1), E[X] = 1/2 y E[X²] = 1/3, así que σ² = 1/12. Para la exponencial de tasa 1, μ = 1 y E[X²] = 2, así que σ = 1. Para una binomial, μ = np y σ² = np(1 − p), lo que da 2 y 1,6 para n = 10, p = 0,2. Para un dado equilibrado, μ = 3,5 y E[X²] = 91/6, así que σ² = 91/6 − 49/4 = 35/12. Para la mezcla a partes iguales de N(−1,5; 0,5²) y N(1,5; 0,5²), μ = 0 y σ² = 0,5² + 1,5² = 2,5, porque la varianza de una mezcla es la media de las varianzas dentro de cada componente más la varianza de las medias de las componentes.

Teorema central del límite

Elige una distribución de origen (uniforme, exponencial, binomial, dado) y extrae muestras de tamaño n = 1, 5, 30; el histograma de las medias se vuelve normal y su dispersión se reduce como σ/√n.

Experimento de muestreo

Distribución de origen

Tamaño de muestra n5

Ritmo automático4 muestras/s

Superponer normal N(μ, σ²/n)

Cada muestra son n extracciones independientes del origen elegido; su media x̄ es una entrada del histograma de abajo. Cambiar el origen o n inicia una colección nueva de medias. El eje x del histograma está fijo al rango del origen, así que la dispersión de las medias se reduce a la vista como σ/√n al crecer n. Reiniciar elige una semilla nueva.

Atajos de teclado

Space / Enter — extraer una muestra
P — extracción automática sí / no
R — reiniciar (semilla nueva)

Magnitudes medidas

Media de origen μ0.5000 (1/2)

DE de origen σ0.2887 (1/√12)

Tamaño de muestra n5

Medias reunidas0

Última media muestral x̄—

Media de las medias—

DE de las medias (empírica)—

σ/√n (teoría)0.1291

Asimetría de las medias—

Sobre el modelo

El simulador extrae muestras de tamaño n de una distribución de origen elegida, reduce cada muestra a su media x̄ = (x₁ + … + xₙ)/n y reúne esas medias en un histograma. Hay cinco orígenes, cada uno con media μ y desviación estándar σ en forma cerrada: la uniforme U(0,1) (μ = 1/2, σ = 1/√12 ≈ 0,2887), la exponencial de tasa 1 (μ = 1, σ = 1), la binomial Bin(10; 0,2) (μ = np = 2, σ = √(np(1−p)) = √1,6 ≈ 1,265), un dado equilibrado de seis caras (μ = 3,5, σ = √(35/12) ≈ 1,708) y una mezcla a partes iguales de dos normales centradas en ±1,5 con desviación estándar 0,5 (μ = 0, σ = √(0,5² + 1,5²) = √2,5 ≈ 1,581). Las extracciones son independientes e idénticamente distribuidas y salen de un generador seudoaleatorio con semilla (mulberry32), así que la sesión se puede repetir hasta que Reiniciar elige una semilla nueva; la exponencial se muestrea por inversión, la binomial como suma de diez ensayos de Bernoulli y la mezcla con la transformación de Box–Muller. Para cualquier origen con varianza finita, E[x̄] = μ y DE[x̄] = σ/√n exactamente, para todo n. El teorema central del límite añade la forma: al crecer n, la distribución de (x̄ − μ)/(σ/√n) se acerca a la normal estándar, de modo que el histograma de las medias se acerca a N(μ, σ²/n). La curva superpuesta es esa normal escalada al número de medias reunidas y al ancho de clase; las líneas discontinuas marcan μ y μ ± σ/√n, y los indicadores comparan el error estándar teórico σ/√n con la desviación estándar muestral de las medias reunidas (divisor N − 1). Se muestra la asimetría de las medias, m₃/m₂^{3/2}, porque deja ver cómo la asimetría de un origen sesgado (exponencial, binomial con p = 0,2) decae más o menos como 1/√n. Las clases tienen un ancho de unos σ/(3√n), así que una campana de ±3 errores estándar ocupa siempre unas dieciocho clases; en los orígenes discretos el ancho se redondea a un múltiplo de 1/n para que cada media posible k/n caiga en el centro de una clase. El eje x está fijo al rango del origen, así que el estrechamiento del histograma con n se ve directamente. Simplificaciones: el origen se conoce por completo, las extracciones son independientes e idénticamente distribuidas, no hay corrección por población finita y no se cuantifica la velocidad de convergencia (no se dibuja la cota de Berry–Esseen). Simuladores relacionados: statistics/law-of-large-numbers (convergencia de una sola media acumulada), statistics/normal-distribution (la curva límite y las puntuaciones z), statistics/galton-board y statistics/binomial-distribution (una binomial que se vuelve normal), statistics/confidence-interval (donde σ/√n se usa en la práctica).

Para quién: Bachillerato y primer curso universitario de estadística (AP Statistics y cursos introductorios de probabilidad y estadística).

Conceptos clave

teorema central del límite
media muestral
error estándar σ/√n
distribución de origen (poblacional)
distribución muestral
aproximación normal
asimetría
independientes e idénticamente distribuidas

Cómo funciona

Elija una distribución de origen —plana, sesgada, discreta o incluso de dos jorobas— y extraiga de ella muestras de n valores. Cada muestra se reduce a un solo número, su media muestral x̄, y esa media cae en el histograma de abajo. Sea cual sea la forma del origen, las medias se acumulan alrededor de la media μ del origen y, al llegar más medias, el histograma toma la forma de una distribución normal N(μ, σ²/n): eso es el teorema central del límite. Su ancho es el error estándar σ/√n, así que cuadruplicar n reduce la dispersión a la mitad: conviene comparar n = 1, 5 y 30 sobre el eje x fijo. El modelo es idealizado: las extracciones son independientes e idénticamente distribuidas, y μ y σ del origen se conocen exactamente en forma cerrada.

Fórmulas principales

x̄ = (x₁ + … + xₙ)/n, E[x̄] = μ

DE[x̄] = σ/√n (error estándar de la media)

TCL: (x̄ − μ)/(σ/√n) → N(0, 1) cuando n → ∞, es decir x̄ ≈ N(μ, σ²/n)

μ, σ: U(0,1): 1/2, 1/√12 · Exp(1): 1, 1 · Bin(10; 0,2): 2; √1,6 · dado: 3,5; √(35/12) · bimodal ½N(−1,5; 0,5²)+½N(1,5; 0,5²): 0; √2,5

Preguntas frecuentes

La distribución de origen es plana (o sesgada, o de dos jorobas). ¿Por qué las medias forman igual una campana?: Una media muestral suma n contribuciones independientes, y una suma de muchas piezas pequeñas e independientes queda dominada por cómo se combinan esas piezas, no por la forma de una sola. Matemáticamente, la función característica de la suma estandarizada tiende a la de la normal estándar siempre que el origen tenga varianza finita. La forma del origen solo controla la rapidez: en la uniforme el histograma de medias ya está cerca de la normal con n = 5, la exponencial necesita en torno a n = 30 para que se desvanezca la cola derecha, y el origen bimodal se ve normal cuando n es lo bastante grande como para que una media promedie valores de las dos jorobas. Con n = 1 el histograma de medias es el propio origen, y por eso ese ajuste es el punto de partida natural.
¿Por qué la dispersión de las medias se reduce como σ/√n y no como σ/n?: Las varianzas de variables independientes se suman. La suma x₁ + … + xₙ tiene varianza nσ², y al dividir la suma por n la varianza se divide por n², y queda σ²/n. La raíz cuadrada da la desviación estándar de la media, σ/√n, llamada error estándar. Así, cuadruplicar n solo reduce la dispersión a la mitad: conviene comparar n = 5 con n = 20, o leer el error estándar teórico y la DE empírica de las medias en los indicadores. Coinciden cuando se han reunido unos cientos de medias.
¿Qué diferencia hay entre el tamaño de muestra n y el número de medias reunidas?: Hacen papeles distintos. El tamaño de muestra n es cuántos valores del origen se promedian para formar una media; decide la forma y el ancho de la distribución muestral, mediante el error estándar σ/√n y el teorema central del límite. El número de medias reunidas decide cuán bien el histograma muestra esa distribución muestral: con 20 medias el histograma es irregular y con 1000 es suave. Aumentar el número de medias nunca estrecha el histograma; solo aumentar n lo estrecha.
¿De dónde salen los valores exactos de μ y σ de cada distribución de origen?: Salen de las definiciones E[X] = ∫x f(x) dx (o Σx p(x)) y σ² = E[X²] − μ². Para U(0,1), E[X] = 1/2 y E[X²] = 1/3, así que σ² = 1/12. Para la exponencial de tasa 1, μ = 1 y E[X²] = 2, así que σ = 1. Para una binomial, μ = np y σ² = np(1 − p), lo que da 2 y 1,6 para n = 10, p = 0,2. Para un dado equilibrado, μ = 3,5 y E[X²] = 91/6, así que σ² = 91/6 − 49/4 = 35/12. Para la mezcla a partes iguales de N(−1,5; 0,5²) y N(1,5; 0,5²), μ = 0 y σ² = 0,5² + 1,5² = 2,5, porque la varianza de una mezcla es la media de las varianzas dentro de cada componente más la varianza de las medias de las componentes.

Siga con temas cercanos de esta categoría — o todos los 10 de «Estadística y probabilidad».

Toda la categoría →

NuevoPopularNiños

Tablero de Galton (máquina de bolas)

Abrir el simulador

Las bolas rebotan a izquierda o derecha entre filas de clavos; las casillas llenan una binomial que se vuelve una campana. Pocas filas frente a muchas.

NuevoEscuela

Simulador del intervalo de confianza

Abrir el simulador

Extraiga una muestra, construya un intervalo al 90/95/99 % para μ; repita 100 veces y cuente cuántos intervalos capturan la media verdadera.

NuevoNiños

Ley de los grandes números

Abrir el simulador

Moneda o dado: la media acumulada x̄ₙ de varias corridas converge a μ; la banda ±σ/√n muestra lo lenta que es.

NuevoNiños

Distribución binomial

Abrir el simulador

Barras de P(K = k) para n ensayos con probabilidad de éxito p; media np, varianza np(1−p); preajustes de moneda y de suceso raro; normal superpuesta cuando n es grande.

NuevoNiños

Distribución normal y puntuaciones z

Abrir el simulador

Campana con μ y σ; colas sombreadas, la regla 68–95–99.7 y un conversor de puntuación z incorporado, x → z = (x − μ)/σ.

NuevoEscuela

El valor p explicado

Abrir el simulador

Estadístico de contraste sobre la densidad bajo H₀; la cola sombreada, de una o de dos colas, es el valor p. Por qué no es la probabilidad de que H₀ sea cierta.

Teorema central del límite

Sobre el modelo

Cómo funciona

Fórmulas principales

Preguntas frecuentes

Simuladores afines

Tablero de Galton (máquina de bolas)

Simulador del intervalo de confianza

Ley de los grandes números

Distribución binomial

Distribución normal y puntuaciones z

El valor p explicado

Teorema central del límite

Sobre el modelo

Cómo funciona

Fórmulas principales

Preguntas frecuentes