Pourquoi la courbe en pointillés ne coïncide-t-elle pas avec le trait plein ?

Les pointillés sont la limite idéale sinc² de Fraunhofer pour la même fente ; le trait plein est l’intégrale de Fresnel complète. Elles se rejoignent lorsque N est petit (écran loin).

N vaut-il toujours exactement a²/(λL) ?

Non : disque ou fente, largeur ou rayon, les définitions diffèrent. Ici N = a²/(λL), a demi-largeur de la fente, comme échelle simple.

Diffraction de Fresnel et de Fraunhofer

Diffraction par une fente : nombre de Fresnel N = a²/(λL), spirale de Cornu, intégrale de Fresnel et limite sinc² en zone lointaine.

À propos du modèle

La diffraction de Fresnel et de Fraunhofer sur une fente dépend de la distance à l’écran. Le nombre de Fresnel N ≈ a²/(λL) (a demi-largeur) sépare les régimes : N petit — zone lointaine, la figure tend vers la limite de Fraunhofer (transformée de Fourier de la fente, ici sinc²) ; N grand — zone proche, la phase quadratique exp(iπ(y − y′)²/(λL)) compte, c’est l’intégrale de Fresnel. La spirale de Cornu est l’hodographe des intégrales C(u) et S(u) ; les amplitudes du bord et de la fente sont des pas vectoriels sur la spirale. À l’écran : l’intégrale numérique sur la fente (trait plein) et la limite sinc² (pointillés). Les définitions de N varient selon les textes ; ici N = a²/(λL) comme échelle pédagogique.

Public : Optique ondulatoire de licence : diffraction de Fresnel et de Fraunhofer, spirale de Cornu.

Notions clés

nombre de Fresnel
intégrale de Fresnel
spirale de Cornu
diffraction de Fraunhofer
zone proche et zone lointaine
fente

Comment ça marche

En zone proche (Fresnel), la phase quadratique exp(iπ(y − y′)²/(λL)) dans l’ouverture ne peut pas être négligée — la figure est une intégrale de Fresnel. En zone lointaine (Fraunhofer), pour L grand (N = a²/(λL) petit), la même intégrale se réduit à la transformée de Fourier de la fente, ici à sinc². La spirale de Cornu montre C(u) et S(u) ; les amplitudes du bord et de la fente sont des segments sur la spirale. Trait plein — intégrale numérique sur la fente ; pointillés — limite de Fraunhofer.

Formules

N ≈ a²/(λL) · N petit → Fraunhofer ; N grand → Fresnel

C(u), S(u) = ∫₀^u cos/sin(π t²/2) dt · spirale de Cornu

Questions fréquentes

Pourquoi la courbe en pointillés ne coïncide-t-elle pas avec le trait plein ?: Les pointillés sont la limite idéale sinc² de Fraunhofer pour la même fente ; le trait plein est l’intégrale de Fresnel complète. Elles se rejoignent lorsque N est petit (écran loin).
N vaut-il toujours exactement a²/(λL) ?: Non : disque ou fente, largeur ou rayon, les définitions diffèrent. Ici N = a²/(λL), a demi-largeur de la fente, comme échelle simple.

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