Warum fällt die gestrichelte Kurve nicht mit der durchgezogenen zusammen?

Die gestrichelte Kurve ist die ideale Fraunhofer-sinc²-Grenze für denselben Spalt; die durchgezogene das volle Fresnel-Integral. Sie rücken zusammen, wenn N klein ist (Schirm weit weg).

Ist N immer genau a²/(λL)?

Nein: für Scheibe und für Spalt, für Breite und für Radius sind die Definitionen verschieden. Hier N = a²/(λL), a Halbweite des Spalts, als einfacher Maßstab.

Fresnel- und Fraunhofer-Beugung

Beugung am Spalt: Fresnel-Zahl N = a²/(λL), Cornu-Spirale, Fresnel-Integral und sinc²-Grenze im Fernfeld.

Zum Modell

Fresnel- und Fraunhofer-Beugung am Spalt hängen davon ab, wie weit der Schirm steht. Die Fresnel-Zahl N ≈ a²/(λL) (a Halbweite) trennt die Bereiche: kleines N — Fernfeld, das Bild geht gegen die Fraunhofer-Grenze (Fourier-Bild des Spalts, hier sinc²); großes N — Nahfeld, die quadratische Phase exp(iπ(y − y′)²/(λL)) zählt, das ist das Fresnel-Integral. Die Cornu-Spirale ist der Hodograph der Integrale C(u) und S(u); Amplituden von Kante und Spalt sind Vektorschritte auf der Spirale. Auf dem Schirm das numerische Integral über den Spalt (durchgezogen) und die sinc²-Grenze (gestrichelt). Die Definitionen von N in der Literatur unterscheiden sich; hier N = a²/(λL) als Lehrmaßstab.

Für wen: Wellenoptik im Studium: Fresnel- und Fraunhofer-Beugung, Cornu-Spirale.

Wichtige Begriffe

Fresnel-Zahl
Fresnel-Integral
Cornu-Spirale
Fraunhofer-Beugung
Nah- und Fernfeld
Spalt

So funktioniert es

Im Nahfeld (Fresnel) darf die quadratische Phase exp(iπ(y − y′)²/(λL)) in der Apertur nicht weggelassen werden — das Bild ist das Fresnel-Integral. Im Fernfeld (Fraunhofer) bei großem L (kleinem N = a²/(λL)) wird dasselbe Integral zum Fourier-Bild des Spalts, hier zu sinc². Die Cornu-Spirale zeigt C(u) und S(u); Amplituden von Kante und Spalt sind Strecken auf der Spirale. Die durchgezogene Kurve ist das numerische Integral über den Spalt, die gestrichelte die Fraunhofer-Grenze.

Wichtige Gleichungen

N ≈ a²/(λL) · kleines N → Fraunhofer; großes N → Fresnel

C(u), S(u) = ∫₀^u cos/sin(π t²/2) dt · Cornu-Spirale

Häufige Fragen

Warum fällt die gestrichelte Kurve nicht mit der durchgezogenen zusammen?: Die gestrichelte Kurve ist die ideale Fraunhofer-sinc²-Grenze für denselben Spalt; die durchgezogene das volle Fresnel-Integral. Sie rücken zusammen, wenn N klein ist (Schirm weit weg).
Ist N immer genau a²/(λL)?: Nein: für Scheibe und für Spalt, für Breite und für Radius sind die Definitionen verschieden. Hier N = a²/(λL), a Halbweite des Spalts, als einfacher Maßstab.

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