Pourquoi deux lentilles ?

La première envoie les angles dans le plan objet vers des coordonnées dans le plan de Fourier. La seconde ramène le spectre filtré dans le plan image. Avec un pas f, le grandissement vaut 1 et l’image est renversée.

Que fait le filtre passe-bas ?

Il bloque les hautes fréquences spatiales : l’image se brouille, comme par convolution avec une fonction d’étalement du point large.

Que fait le filtre passe-haut ?

Il enlève la composante continue et les basses fréquences : il reste les contours et les harmoniques élevées des objets périodiques.

Pourquoi le spectre est-il « en pixels » et non en mm⁻¹ ?

C’est une TFD 2D d’enseignement sur une grille 64×64 : les coordonnées sont normalisées. La géométrie 4f (longueur 4f) est fixée par le foyer f, mais le pas en fréquence n’est pas lié à une λ réelle ni à la taille du cadre.

Système 4f (optique de Fourier)

Objet → lentille → plan de Fourier → filtre spatial (passe-bas / passe-haut) → lentille → image ; TFD 2D et ouverture circulaire.

Graphiques

À propos du modèle

Le système 4f, ce sont deux lentilles de distance focale f : l’objet est au foyer objet de la première, l’image au foyer image de la seconde ; entre les lentilles, à la distance 2f, se trouve le plan de Fourier. Le champ y est proportionnel au spectre G(u,v) = ℱ{g} ; le filtre spatial H(u,v) multiplie le spectre, la seconde lentille donne g′ ∝ ℱ⁻¹{H·G} (image renversée). Une ouverture passe-bas brouille les détails fins, une ouverture passe-haut souligne les contours. Le modèle est une TFD 2D discrète sur une grille 64×64, avec des motifs d’objet (réseau, fente, croix, grille) et des filtres circulaires passe-bas / passe-haut ; les coordonnées du spectre sont normalisées. L’ouverture finie des lentilles, les aberrations et la polarisation ne sont pas prises en compte.

Public : Optique de licence après la diffraction de Fraunhofer : filtrage spatial et théorème de convolution.

Notions clés

système 4f
optique de Fourier
plan de Fourier
filtre spatial
filtre passe-bas
filtre passe-haut
théorème de convolution

Comment ça marche

Schéma 4f : objet → première lentille → module du spectre dans le plan de Fourier → ouverture circulaire passe-bas ou passe-haut → seconde lentille → intensité de l’image. Quatre panneaux et profils de la ligne centrale.

Formules

G(u,v) = ℱ{g} dans le plan de Fourier ; g′ = ℱ⁻¹{H·G} dans l’image

passe-bas : |u| < u_c · passe-haut : |u| > u_c · distance L₁–L₂ = 2f

Questions fréquentes

Pourquoi deux lentilles ?: La première envoie les angles dans le plan objet vers des coordonnées dans le plan de Fourier. La seconde ramène le spectre filtré dans le plan image. Avec un pas f, le grandissement vaut 1 et l’image est renversée.
Que fait le filtre passe-bas ?: Il bloque les hautes fréquences spatiales : l’image se brouille, comme par convolution avec une fonction d’étalement du point large.
Que fait le filtre passe-haut ?: Il enlève la composante continue et les basses fréquences : il reste les contours et les harmoniques élevées des objets périodiques.
Pourquoi le spectre est-il « en pixels » et non en mm⁻¹ ?: C’est une TFD 2D d’enseignement sur une grille 64×64 : les coordonnées sont normalisées. La géométrie 4f (longueur 4f) est fixée par le foyer f, mais le pas en fréquence n’est pas lié à une λ réelle ni à la taille du cadre.

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