Para que servem duas lentes?

A primeira leva os ângulos no plano do objeto a coordenadas no plano de Fourier. A segunda devolve o espectro filtrado ao plano da imagem. Com passo f o aumento é 1 e a imagem fica invertida.

O que faz o filtro passa-baixas?

Bloqueia as frequências espaciais altas: a imagem borra, como na convolução com uma função de espalhamento pontual larga.

O que faz o filtro passa-altas?

Tira a componente constante e as frequências baixas — restam as bordas e os harmônicos altos dos objetos periódicos.

Por que o espectro está «em pixels» e não em mm⁻¹?

É uma FFT 2D didática numa malha 64×64: as coordenadas estão normalizadas. A geometria 4f (comprimento 4f) vem do foco f, mas o passo em frequência não está amarrado a uma λ real nem ao tamanho do quadro.

Sistema 4f (óptica de Fourier)

Objeto → lente → plano de Fourier → filtro espacial (passa-baixas/passa-altas) → lente → imagem; FFT 2D e abertura circular.

Gráficos

Sobre o modelo

O sistema 4f é formado por duas lentes de distância focal f: o objeto fica no foco anterior da primeira e a imagem no foco posterior da segunda; entre as lentes, a 2f, está o plano de Fourier. O campo ali é proporcional ao espectro G(u,v) = ℱ{g}; o filtro espacial H(u,v) multiplica o espectro e a segunda lente dá g′ ∝ ℱ⁻¹{H·G} (imagem invertida). Uma abertura de baixas frequências borra o detalhe fino; uma de altas frequências realça as bordas. O modelo é uma FFT 2D discreta numa malha 64×64, com predefinições de objeto (rede, fenda, cruz, grade) e filtros circulares passa-baixas e passa-altas; as coordenadas do espectro estão normalizadas. Não entram a abertura finita das lentes, as aberrações nem a polarização.

Para quem: Óptica da graduação após a difração de Fraunhofer: filtragem espacial e teorema da convolução.

Conceitos-chave

sistema 4f
óptica de Fourier
plano de Fourier
filtro espacial
filtro passa-baixas
filtro passa-altas
teorema da convolução

Como funciona

Esquema 4f: objeto → primeira lente → módulo do espectro no plano de Fourier → abertura circular passa-baixas ou passa-altas → segunda lente → intensidade da imagem. Quatro painéis e perfis da linha central.

Fórmulas principais

G(u,v) = ℱ{g} no plano de Fourier; g′ = ℱ⁻¹{H·G} na imagem

PB: |u| < u_c · PA: |u| > u_c · distância L₁–L₂ = 2f

Perguntas frequentes

Para que servem duas lentes?: A primeira leva os ângulos no plano do objeto a coordenadas no plano de Fourier. A segunda devolve o espectro filtrado ao plano da imagem. Com passo f o aumento é 1 e a imagem fica invertida.
O que faz o filtro passa-baixas?: Bloqueia as frequências espaciais altas: a imagem borra, como na convolução com uma função de espalhamento pontual larga.
O que faz o filtro passa-altas?: Tira a componente constante e as frequências baixas — restam as bordas e os harmônicos altos dos objetos periódicos.
Por que o espectro está «em pixels» e não em mm⁻¹?: É uma FFT 2D didática numa malha 64×64: as coordenadas estão normalizadas. A geometria 4f (comprimento 4f) vem do foco f, mas o passo em frequência não está amarrado a uma λ real nem ao tamanho do quadro.

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