¿Para qué hacen falta dos lentes?

La primera lleva los ángulos en el plano del objeto a coordenadas en el plano de Fourier. La segunda devuelve el espectro filtrado al plano de la imagen. Con paso f el aumento es 1 y la imagen queda invertida.

¿Qué hace el filtro pasa-bajos?

Bloquea las frecuencias espaciales altas: la imagen se desdibuja, como al convolucionar con una función de dispersión puntual ancha.

¿Qué hace el filtro pasa-altos?

Quita la componente constante y las frecuencias bajas: quedan los bordes y los armónicos altos de los objetos periódicos.

¿Por qué el espectro está «en píxeles» y no en mm⁻¹?

Es una FFT 2D de enseñanza en una malla 64×64: las coordenadas están normalizadas. La geometría 4f (longitud 4f) la marca el foco f, pero el paso en frecuencia no está atado a una λ real ni al tamaño del cuadro.

Sistema 4f (óptica de Fourier)

Objeto → lente → plano de Fourier → filtro espacial (pasa-bajos/pasa-altos) → lente → imagen; FFT 2D y abertura circular.

Gráficas

Sobre el modelo

El sistema 4f son dos lentes de distancia focal f: el objeto está en el foco anterior de la primera y la imagen en el foco posterior de la segunda; entre las lentes, a 2f, queda el plano de Fourier. El campo ahí es proporcional al espectro G(u,v) = ℱ{g}; el filtro espacial H(u,v) multiplica el espectro y la segunda lente da g′ ∝ ℱ⁻¹{H·G} (imagen invertida). Una abertura de bajas frecuencias desdibuja el detalle fino; una de altas frecuencias resalta los bordes. El modelo es una FFT 2D discreta en una malla 64×64, con plantillas de objeto (red, rendija, cruz, retícula) y filtros circulares pasa-bajos y pasa-altos; las coordenadas del espectro están normalizadas. No se cuentan la abertura finita de las lentes, las aberraciones ni la polarización.

Para quién: Óptica de facultad después de la difracción de Fraunhofer: filtrado espacial y teorema de la convolución.

Conceptos clave

sistema 4f
óptica de Fourier
plano de Fourier
filtro espacial
filtro pasa-bajos
filtro pasa-altos
teorema de la convolución

Cómo funciona

Esquema 4f: objeto → primera lente → módulo del espectro en el plano de Fourier → abertura circular pasa-bajos o pasa-altos → segunda lente → intensidad de la imagen. Cuatro paneles y perfiles de la fila central.

Fórmulas principales

G(u,v) = ℱ{g} en el plano de Fourier; g′ = ℱ⁻¹{H·G} en la imagen

Pasa-bajos: |u| < u_c · Pasa-altos: |u| > u_c · distancia L₁–L₂ = 2f

Preguntas frecuentes

¿Para qué hacen falta dos lentes?: La primera lleva los ángulos en el plano del objeto a coordenadas en el plano de Fourier. La segunda devuelve el espectro filtrado al plano de la imagen. Con paso f el aumento es 1 y la imagen queda invertida.
¿Qué hace el filtro pasa-bajos?: Bloquea las frecuencias espaciales altas: la imagen se desdibuja, como al convolucionar con una función de dispersión puntual ancha.
¿Qué hace el filtro pasa-altos?: Quita la componente constante y las frecuencias bajas: quedan los bordes y los armónicos altos de los objetos periódicos.
¿Por qué el espectro está «en píxeles» y no en mm⁻¹?: Es una FFT 2D de enseñanza en una malla 64×64: las coordenadas están normalizadas. La geometría 4f (longitud 4f) la marca el foco f, pero el paso en frecuencia no está atado a una λ real ni al tamaño del cuadro.

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