Wozu braucht man zwei Linsen?

Die erste bildet Winkel in der Objektebene auf Koordinaten in der Fourier-Ebene ab. Die zweite führt das gefilterte Spektrum in die Bildebene zurück. Beim Abstand f ist der Abbildungsmaßstab 1, das Bild steht auf dem Kopf.

Was bewirkt das Tiefpassfilter?

Es blockiert hohe Ortsfrequenzen: das Bild wird unscharf, wie bei einer Faltung mit einer breiten Punktbildfunktion.

Was bewirkt das Hochpassfilter?

Es nimmt den Gleichanteil und die tiefen Frequenzen weg — es bleiben Kanten und höhere Harmonische periodischer Objekte.

Warum steht das Spektrum in Pixeln und nicht in mm⁻¹?

Das ist eine 2D-FFT als Lehrmodell auf dem Gitter 64×64: die Koordinaten sind normiert. Die 4f-Geometrie (Länge 4f) wird durch die Brennweite f gesetzt, der Frequenzschritt ist aber nicht an eine reale λ und eine reale Bildgröße gebunden.

Fourier-Optik (4f)

Objekt → Linse → Fourier-Ebene → Ortsfrequenzfilter (Tief-/Hochpass) → Linse → Bild; 2D-FFT und Kreisblende.

Diagramme

Zum Modell

Fourier-Optik (4f): zwei Linsen mit der Brennweite f — das Objekt in der vorderen Brennebene der ersten, das Bild in der hinteren Brennebene der zweiten; zwischen den Linsen im Abstand 2f liegt die Fourier-Ebene. Das Feld dort ist proportional zum Spektrum G(u,v) = ℱ{g}; das Ortsfrequenzfilter H(u,v) multipliziert das Spektrum, die zweite Linse liefert g′ ∝ ℱ⁻¹{H·G} (das Bild steht auf dem Kopf). Eine Tiefpassblende macht feine Details unscharf, eine Hochpassblende hebt die Kanten hervor. Das Modell ist eine diskrete 2D-FFT auf dem Gitter 64×64, mit Objektvorlagen (Gitter, Spalt, Kreuz, Netz) und kreisförmigen Tief- und Hochpassfiltern; die Spektralkoordinaten sind normiert. Endliche Linsenapertur, Aberrationen und Polarisation entfallen.

Für wen: Hochschuloptik nach der Fraunhofer-Beugung: räumliche Filterung und Faltungssatz.

Wichtige Begriffe

4f-System
Fourier-Optik
Fourier-Ebene
Ortsfrequenzfilter
Tiefpassfilter
Hochpassfilter
Faltungssatz

So funktioniert es

4f-Schema: Objekt → erste Linse → Betrag des Spektrums in der Fourier-Ebene → kreisförmige Tief- oder Hochpassblende → zweite Linse → Intensität des Bildes. Vier Felder und Profile der Mittelzeile.

Wichtige Gleichungen

G(u,v) = ℱ{g} in der Fourier-Ebene; g′ = ℱ⁻¹{H·G} im Bild

Tiefpass: |u| < u_c · Hochpass: |u| > u_c · Abstand L₁–L₂ = 2f

Häufige Fragen

Wozu braucht man zwei Linsen?: Die erste bildet Winkel in der Objektebene auf Koordinaten in der Fourier-Ebene ab. Die zweite führt das gefilterte Spektrum in die Bildebene zurück. Beim Abstand f ist der Abbildungsmaßstab 1, das Bild steht auf dem Kopf.
Was bewirkt das Tiefpassfilter?: Es blockiert hohe Ortsfrequenzen: das Bild wird unscharf, wie bei einer Faltung mit einer breiten Punktbildfunktion.
Was bewirkt das Hochpassfilter?: Es nimmt den Gleichanteil und die tiefen Frequenzen weg — es bleiben Kanten und höhere Harmonische periodischer Objekte.
Warum steht das Spektrum in Pixeln und nicht in mm⁻¹?: Das ist eine 2D-FFT als Lehrmodell auf dem Gitter 64×64: die Koordinaten sind normiert. Die 4f-Geometrie (Länge 4f) wird durch die Brennweite f gesetzt, der Frequenzschritt ist aber nicht an eine reale λ und eine reale Bildgröße gebunden.

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