Pourquoi la période change-t-elle si l'on déplace le point de suspension ?

Dans T = 2π √(I /(mgd)) entrent d et le moment d'inertie par rapport à l'axe. Par le théorème de Huygens–Steiner, I dépend aussi de d. Près de l'extrémité, la période est grande ; elle passe ensuite par un minimum, puis croît de nouveau lorsque l'axe se rapproche du centre d'inertie.

Qu'est-ce que la longueur réduite L_eq ?

L_eq = I/(md) est la longueur d'un pendule simple de même période. Pour un pendule pesant, elle est toujours plus grande que la distance de l'axe au centre d'inertie.

La formule de la période reste-t-elle valable aux grands angles ?

La T = 2π √(I /(mgd)) que l'on déduit s'appuie sur sin δ ≈ δ. Aux grandes amplitudes, le moment de rappel n'est plus proportionnel à l'angle : les oscillations ne sont plus harmoniques et la période croît. Cette correction n'est pas dans le modèle principal.

Où suspendre la barre pour que la période soit minimale ?

Pour une barre homogène, le minimum est à d = L/√12 ≈ 0,289 L du centre (environ 0,211 L de l'extrémité). C'est là que le rapport I/(md) est le plus petit.

Pendule pesant (barre)

Barre mince homogène : le point de suspension parcourt L ; I et T(δ) ; longueur réduite L_eq.

Graphiques

À propos du modèle

Pendule pesant : un solide étendu, libre de tourner autour d'un axe horizontal fixe (contrairement au pendule simple — masse ponctuelle sur un fil sans masse). Ici, une barre mince homogène de longueur L et de masse m ; l'axe est à une distance d d'une extrémité. Le moment du poids et τ = Iα donnent, aux petits angles, des oscillations harmoniques de période T = 2π √(I /(mgd)). Pour la barre, I_G = (1/12)mL² ; par le théorème de Huygens–Steiner, I = I_G + md². La longueur réduite L_eq = I/(md) est celle d'un pendule simple de même période. En déplaçant l'axe, on voit un minimum de T et deux valeurs distinctes de d pour la même période. L'axe est sans frottement, il n'y a pas de résistance de l'air, et la formule de la période vaut pour les petits angles.

Public : Terminale spécialisée et L1 : moment d'inertie, théorème de Huygens–Steiner, période du pendule pesant.

Notions clés

pendule pesant
pendule simple
moment d'inertie
théorème de Huygens–Steiner
longueur réduite
période d'oscillation
oscillations harmoniques
approximation des petits angles

Comment ça marche

Une barre rigide homogène oscille autour d'un point de sa longueur. Le théorème de Huygens–Steiner donne I = mL²/12 + mδ² par rapport à l'axe, où δ est la distance de l'axe au centre d'inertie. Aux petites oscillations autour de la verticale, le mouvement coïncide avec celui d'un pendule simple de longueur réduite L_eq = I/(mδ), d'où T ≈ 2π√(L_eq/g). Approcher l'axe du centre d'inertie (δ plus petit) diminue le moment de rappel et allonge la période ; si l'on suspend par l'extrémité (δ = L/2), on retrouve la formule classique T = 2π√(2L/(3g)).

Formules

I = mL²/12 + mδ² · ω₀² = mgδ / I · L_eq = I/(mδ)

Axe à l'extrémité : δ = L/2 → T = 2π√(2L/(3g))

Questions fréquentes

Pourquoi la période change-t-elle si l'on déplace le point de suspension ?: Dans T = 2π √(I /(mgd)) entrent d et le moment d'inertie par rapport à l'axe. Par le théorème de Huygens–Steiner, I dépend aussi de d. Près de l'extrémité, la période est grande ; elle passe ensuite par un minimum, puis croît de nouveau lorsque l'axe se rapproche du centre d'inertie.
Qu'est-ce que la longueur réduite L_eq ?: L_eq = I/(md) est la longueur d'un pendule simple de même période. Pour un pendule pesant, elle est toujours plus grande que la distance de l'axe au centre d'inertie.
La formule de la période reste-t-elle valable aux grands angles ?: La T = 2π √(I /(mgd)) que l'on déduit s'appuie sur sin δ ≈ δ. Aux grandes amplitudes, le moment de rappel n'est plus proportionnel à l'angle : les oscillations ne sont plus harmoniques et la période croît. Cette correction n'est pas dans le modèle principal.
Où suspendre la barre pour que la période soit minimale ?: Pour une barre homogène, le minimum est à d = L/√12 ≈ 0,289 L du centre (environ 0,211 L de l'extrémité). C'est là que le rapport I/(md) est le plus petit.

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