¿Por qué cambia el período si se corre el punto de suspensión?

En T = 2π √(I /(mgd)) entran d y el momento de inercia respecto del eje. Por el teorema de Steiner, I también depende de d. Cerca del extremo el período es grande; luego pasa por un mínimo y vuelve a crecer cuando el eje se acerca al centro de masa.

¿Qué es la longitud equivalente L_eq?

L_eq = I/(md) es la longitud de un péndulo simple con el mismo período. En un péndulo físico siempre es mayor que la distancia del eje al centro de masa.

¿Sirve la fórmula del período a ángulos grandes?

La T = 2π √(I /(mgd)) que se deduce usa sin δ ≈ δ. A amplitudes grandes el momento restaurador ya no es proporcional al ángulo: las oscilaciones no son armónicas y el período crece. Esa corrección no está en el modelo principal.

¿Dónde suspender la barra para que el período sea mínimo?

En una barra homogénea el mínimo está a d = L/√12 ≈ 0,289 L del centro (unos 0,211 L del extremo). Allí es mínimo el cociente I/(md).

Péndulo físico

Barra delgada y homogénea: el punto de suspensión recorre L; I y T(δ); longitud equivalente L_eq.

Gráficas

Sobre el modelo

Péndulo físico: un cuerpo rígido extenso que gira libremente alrededor de un eje horizontal fijo (a diferencia del péndulo simple, masa puntual en un hilo sin peso). Aquí es una barra delgada y homogénea de longitud L y masa m; el eje está a una distancia d de un extremo. El momento del peso y τ = Iα dan, a ángulos pequeños, oscilaciones armónicas con período T = 2π √(I /(mgd)). Para la barra, I_cm = (1/12)mL²; por el teorema de Steiner, I = I_cm + md². La longitud equivalente L_eq = I/(md) es la de un péndulo simple con el mismo período. Al mover el eje se ve un mínimo de T y dos valores distintos de d con el mismo período. El eje no tiene fricción, no hay resistencia del aire y la fórmula del período vale para ángulos pequeños.

Para quién: Bachillerato avanzado y primer curso: momento de inercia, teorema de Steiner, período del péndulo físico.

Conceptos clave

péndulo físico
péndulo simple
momento de inercia
teorema de Steiner
longitud equivalente
período de oscilación
oscilaciones armónicas
aproximación de ángulos pequeños

Cómo funciona

Una barra rígida y homogénea oscila alrededor de un punto de su longitud. El teorema de Steiner da I = mL²/12 + mδ² respecto del eje, donde δ es la distancia del eje al centro de masa. En oscilaciones pequeñas alrededor de la vertical el movimiento coincide con el de un péndulo simple de longitud equivalente L_eq = I/(mδ), de modo que T ≈ 2π√(L_eq/g). Acercar el eje al CM (menor δ) reduce el momento restaurador y alarga el período; si se suspende por el extremo (δ = L/2) se recupera la fórmula clásica T = 2π√(2L/(3g)).

Fórmulas principales

I = mL²/12 + mδ² · ω₀² = mgδ / I · L_eq = I/(mδ)

Eje en el extremo: δ = L/2 → T = 2π√(2L/(3g))

Preguntas frecuentes

¿Por qué cambia el período si se corre el punto de suspensión?: En T = 2π √(I /(mgd)) entran d y el momento de inercia respecto del eje. Por el teorema de Steiner, I también depende de d. Cerca del extremo el período es grande; luego pasa por un mínimo y vuelve a crecer cuando el eje se acerca al centro de masa.
¿Qué es la longitud equivalente L_eq?: L_eq = I/(md) es la longitud de un péndulo simple con el mismo período. En un péndulo físico siempre es mayor que la distancia del eje al centro de masa.
¿Sirve la fórmula del período a ángulos grandes?: La T = 2π √(I /(mgd)) que se deduce usa sin δ ≈ δ. A amplitudes grandes el momento restaurador ya no es proporcional al ángulo: las oscilaciones no son armónicas y el período crece. Esa corrección no está en el modelo principal.
¿Dónde suspender la barra para que el período sea mínimo?: En una barra homogénea el mínimo está a d = L/√12 ≈ 0,289 L del centro (unos 0,211 L del extremo). Allí es mínimo el cociente I/(md).

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