Por que o período muda ao se deslocar o ponto de suspensão?

Em T = 2π √(I /(mgd)) entram d e o momento de inércia em relação ao eixo. Pelo teorema de Steiner, I também depende de d. Perto da extremidade o período é grande; depois passa por um mínimo e volta a crescer quando o eixo se aproxima do centro de massa.

O que é o comprimento equivalente L_eq?

L_eq = I/(md) é o comprimento de um pêndulo simples com o mesmo período. Num pêndulo físico ele é sempre maior que a distância do eixo ao centro de massa.

A fórmula do período vale em ângulos grandes?

A T = 2π √(I /(mgd)) que se deduz usa sin δ ≈ δ. Em amplitudes grandes o momento restaurador já não é proporcional ao ângulo: as oscilações não são harmônicas e o período cresce. Essa correção não está no modelo principal.

Onde suspender a barra para o período ser mínimo?

Numa barra homogênea o mínimo está a d = L/√12 ≈ 0,289 L do centro (cerca de 0,211 L da extremidade). Ali é mínimo o quociente I/(md).

Pêndulo físico

Barra delgada e homogênea: o ponto de suspensão percorre L; I e T(δ); comprimento equivalente L_eq.

Gráficos

Sobre o modelo

Pêndulo físico: um corpo rígido extenso que gira livremente em torno de um eixo horizontal fixo (diferente do pêndulo simples — massa pontual num fio sem peso). Aqui é uma barra delgada e homogênea de comprimento L e massa m; o eixo está a uma distância d de uma extremidade. O momento do peso e τ = Iα dão, em ângulos pequenos, oscilações harmônicas com período T = 2π √(I /(mgd)). Para a barra, I_cm = (1/12)mL²; pelo teorema de Steiner, I = I_cm + md². O comprimento equivalente L_eq = I/(md) é o de um pêndulo simples com o mesmo período. Ao mover o eixo, vê-se um mínimo de T e dois valores distintos de d com o mesmo período. O eixo não tem atrito, não há resistência do ar e a fórmula do período vale para ângulos pequenos.

Para quem: Ensino médio avançado e início da graduação: momento de inércia, teorema de Steiner, período do pêndulo físico.

Conceitos-chave

pêndulo físico
pêndulo simples
momento de inércia
teorema de Steiner
comprimento equivalente
período de oscilação
oscilações harmônicas
aproximação de ângulos pequenos

Como funciona

Uma barra rígida e homogênea oscila em torno de um ponto do seu comprimento. O teorema de Steiner dá I = mL²/12 + mδ² em relação ao eixo, em que δ é a distância do eixo ao centro de massa. Em oscilações pequenas em torno da vertical o movimento coincide com o de um pêndulo simples de comprimento equivalente L_eq = I/(mδ), de modo que T ≈ 2π√(L_eq/g). Aproximar o eixo do CM (menor δ) reduz o momento restaurador e alonga o período; suspensa pela extremidade (δ = L/2), recupera-se a fórmula clássica T = 2π√(2L/(3g)).

Fórmulas principais

I = mL²/12 + mδ² · ω₀² = mgδ / I · L_eq = I/(mδ)

Eixo na extremidade: δ = L/2 → T = 2π√(2L/(3g))

Perguntas frequentes

Por que o período muda ao se deslocar o ponto de suspensão?: Em T = 2π √(I /(mgd)) entram d e o momento de inércia em relação ao eixo. Pelo teorema de Steiner, I também depende de d. Perto da extremidade o período é grande; depois passa por um mínimo e volta a crescer quando o eixo se aproxima do centro de massa.
O que é o comprimento equivalente L_eq?: L_eq = I/(md) é o comprimento de um pêndulo simples com o mesmo período. Num pêndulo físico ele é sempre maior que a distância do eixo ao centro de massa.
A fórmula do período vale em ângulos grandes?: A T = 2π √(I /(mgd)) que se deduz usa sin δ ≈ δ. Em amplitudes grandes o momento restaurador já não é proporcional ao ângulo: as oscilações não são harmônicas e o período cresce. Essa correção não está no modelo principal.
Onde suspender a barra para o período ser mínimo?: Numa barra homogênea o mínimo está a d = L/√12 ≈ 0,289 L do centro (cerca de 0,211 L da extremidade). Ali é mínimo o quociente I/(md).

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