Почему период меняется, если сдвинуть точку подвеса?

В T = 2π √(I /(mgd)) входят и d, и момент инерции относительно оси. По теореме Штейнера I тоже зависит от d. Близко к концу период велик, затем проходит минимум и снова растёт, когда ось подходит к центру масс.

Что такое приведённая длина L_eq?

L_eq = I/(md) — длина математического маятника с тем же периодом. Для физического маятника она всегда больше расстояния от оси до центра масс.

Работает ли формула периода при больших углах?

Выведенная T = 2π √(I /(mgd)) опирается на sin δ ≈ δ. При больших амплитудах возвращающий момент уже не пропорционален углу, колебания не гармонические, период растёт. Эта поправка в основной модели не включена.

Где подвесить стержень, чтобы период был минимальным?

Для однородного стержня минимум при d = L/√12 ≈ 0,289 L от центра (около 0,211 L от конца). Там минимально отношение I/(md).

Физический маятник (стержень)

Тонкий однородный стержень: точка подвеса вдоль L, I и T(δ), приведённая длина L_eq.

Однородный стержень

Длина стержня L1.4 m

Расстояние оси от верхнего конца a0.22 m

Масса m1.5 kg

Ускорение g9.81 m/s²

Начальный угол от вертикали28°

В вертикальном положении верхний конец — короткий сегмент над осью. Нужно a < L/2, чтобы ЦМ был ниже оси.

Горячие клавиши

Пробел или Enter — отпускание с начального угла
R — сброс

Измеренные величины

δ = |ось→ЦМ|0.4800m

I относительно оси0.5906kg·m²

T (малый угол)1.817s

Приведённая длина L_eq = I/(mδ)0.8203m

Проверка 2π√(L_eq/g)1.817s

2π√(L/g) (длина стержня)2.374s

θ0.0000rad

ω0.0000rad/s

Графики

О модели

Физический маятник — протяжённое твёрдое тело, свободно вращающееся вокруг неподвижной горизонтальной оси (в отличие от математического маятника — материальной точки на невесомой нити). Здесь тонкий однородный стержень длины L и массы m, точка подвеса на расстоянии d от конца. Момент силы тяжести и τ = Iα дают для малых углов гармонические колебания с периодом T = 2π √(I /(mgd)). Для стержня I_цм = (1/12)mL², теорема Штейнера: I = I_цм + md². Приведённая длина L_eq = I/(md) — длина математического маятника с тем же периодом. Меняя точку подвеса, видно минимум T и два разных d с одинаковым периодом. Ось без трения, сопротивления воздуха нет, формула периода — для малых углов.

Для кого: Углублённая школа и первый курс: момент инерции, теорема Штейнера, период физического маятника.

Ключевые понятия

Физический маятник
Математический маятник
Момент инерции
Теорема Штейнера
Приведённая длина
Период колебаний
Гармонические колебания
Приближение малых углов

Как это работает

Жёсткий однородный стержень вращается вокруг точки на своей длине. Теорема о параллельных осях даёт I = mL²/12 + mδ² относительно точки подвеса, где δ — расстояние от неё до центра масс. Для малых колебаний около вертикального положения движение соответствует математическому маятнику с эквивалентной длиной L_экв = I/(mδ), поэтому T ≈ 2π√(L_экв/g). Приближение точки подвеса к ЦМ (уменьшение δ) снижает возвращающий момент и увеличивает период; подвешивание за конец (δ = L/2) даёт классическую формулу T = 2π√(2L/(3g)).

Основные формулы

I = mL²/12 + mδ² · ω₀² = mgδ / I · L_eq = I/(mδ)

Ось на конце: δ = L/2 → T = 2π√(2L/(3g))

Часто задаваемые вопросы

Почему период меняется, если сдвинуть точку подвеса?: В T = 2π √(I /(mgd)) входят и d, и момент инерции относительно оси. По теореме Штейнера I тоже зависит от d. Близко к концу период велик, затем проходит минимум и снова растёт, когда ось подходит к центру масс.
Что такое приведённая длина L_eq?: L_eq = I/(md) — длина математического маятника с тем же периодом. Для физического маятника она всегда больше расстояния от оси до центра масс.
Работает ли формула периода при больших углах?: Выведенная T = 2π √(I /(mgd)) опирается на sin δ ≈ δ. При больших амплитудах возвращающий момент уже не пропорционален углу, колебания не гармонические, период растёт. Эта поправка в основной модели не включена.
Где подвесить стержень, чтобы период был минимальным?: Для однородного стержня минимум при d = L/√12 ≈ 0,289 L от центра (около 0,211 L от конца). Там минимально отношение I/(md).

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 85 в «Классическая механика».

Вся категория →

ПопулярноеШкольные

Математический маятник

Запустить симулятор

Период малых колебаний T = 2π√(L/g). Меняйте длину, массу и g, наблюдайте затухание.

Школьные

Грузик на пружине

Запустить симулятор

Гармонические колебания грузика: жёсткость k и затухание. Период T = 2π√(m/k).

НовоеШкольные

Требушет

Запустить симулятор

Рычаг с противовесом: момент силы разгоняет груз до выбранного угла отпуска. Дальность зависит от масс и длин плеч.

НовоеШкольные

Конический маятник

Запустить симулятор

Установившийся конус: ω(θ, L), векторы T и mg, сравнение периода обращения T_обр с периодом математического маятника T₀.

НовоеШкольные

Баллистический маятник

Запустить симулятор

Пуля попадает в подвешенный брусок: абсолютно неупругий удар или удар с коэффициентом восстановления e. По импульсу находится ω₀ = v/L, по энергии — θ_max; на графике — кинетическая и потенциальная энергия.

НовоеШкольные

Момент импульса

Запустить симулятор

Две одинаковые массы на стержне, I = 2mr². При постоянном моменте импульса L изменение r или m меняет угловую скорость ω.

Физический маятник (стержень)

Графики

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы

Похожие симуляторы

Математический маятник

Грузик на пружине

Требушет

Конический маятник

Баллистический маятник

Момент импульса

Физический маятник (стержень)

Графики

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы