Por que a partícula às vezes volta e às vezes «vai ao infinito»?

Os pontos de retorno vêm da conservação da energia. Se E < U(x) num trecho, a energia cinética E − U seria negativa: a partícula não entra ali e inverte o sentido onde U = E. Se E é maior que U em toda parte, o movimento é ilimitado.

O que é o plano de fases e por que a trajetória às vezes é uma curva fechada?

Os eixos são a posição x e a velocidade v; o ponto (x, v) fixa o estado por completo. Num movimento periódico (poço harmônico) o sistema volta aos mesmos pares (x, v): no gráfico, uma curva fechada, linha de nível de E constante: E = ½mv² + U(x).

Por que em F = −dU/dx aparece o sinal de menos?

O menos aponta a força no sentido em que U diminui. Os sistemas «escorregam» para menor energia potencial. Para U = mgh, F = −mg aponta para baixo: h e U decrescem.

Há atrito neste modelo?

Não: o sistema é conservativo, E = KE + U permanece constante (salvo um pequeno desvio numérico). Na vida, a dissipação transforma energia mecânica em calor.

Campo de forças unidimensional

Q: O que é o plano de fases e por que a trajetória às vezes é uma curva fechada?

Os eixos são a posição x e a velocidade v; o ponto (x, v) fixa o estado por completo. Num movimento periódico (poço harmônico) o sistema volta aos mesmos pares (x, v): no gráfico, uma curva fechada, linha de nível de E constante: E = ½mv² + U(x).

Q: Por que em F = −dU/dx aparece o sinal de menos?

O menos aponta a força no sentido em que U diminui. Os sistemas «escorregam» para menor energia potencial. Para U = mgh, F = −mg aponta para baixo: h e U decrescem.

Q: Há atrito neste modelo?

Não: o sistema é conservativo, E = KE + U permanece constante (salvo um pequeno desvio numérico). Na vida, a dissipação transforma energia mecânica em calor.

Predefinições de U(x), F = −U′, esfera no potencial, plano de fases (x, v) e E(t).

Gráficos

Sobre o modelo

Um campo de forças unidimensional é dado pela energia potencial U(x): a força conservativa é F(x) = −dU/dx, o movimento da partícula obedece ma = F(x) e a energia mecânica E = ½mv² + U(x) se conserva. A esfera desliza sem atrito sobre a curva do potencial. As predefinições — poço harmônico, poço duplo, barreira em degrau — mostram, pela forma de U, o movimento limitado e o ilimitado. Na tela aparecem a coordenada x, o plano de fases (x, v) e os gráficos de energia. Não há atrito, o movimento é estritamente unidimensional e a partícula é um ponto material. Há equilíbrio estável nos mínimos de U e instável nos máximos; as energias cinética e potencial se trocam.

Para quem: Ensino médio avançado e início da faculdade: potencial, forças conservativas, plano de fases.

Conceitos-chave

energia potencial
força conservativa
ponto de equilíbrio
plano de fases
conservação da energia
segunda lei de Newton

Como funciona

Dinâmica conservativa unidimensional a partir do potencial U(x). A força é F = −dU/dx, de modo que a energia total E = ½mv² + U(x) se conserva (salvo um pequeno desvio numérico). O poço harmônico dá trajetórias de fase elípticas; o poço duplo admite movimento periódico num só poço ou trajetórias mais complexas se a energia for suficiente.

Fórmulas principais

F = −dU/dx · mẍ = F

E = ½mv² + U(x) · poço duplo: U ∝ x⁴/4 − x²/2

Perguntas frequentes

Por que a partícula às vezes volta e às vezes «vai ao infinito»?: Os pontos de retorno vêm da conservação da energia. Se E < U(x) num trecho, a energia cinética E − U seria negativa: a partícula não entra ali e inverte o sentido onde U = E. Se E é maior que U em toda parte, o movimento é ilimitado.
O que é o plano de fases e por que a trajetória às vezes é uma curva fechada?: Os eixos são a posição x e a velocidade v; o ponto (x, v) fixa o estado por completo. Num movimento periódico (poço harmônico) o sistema volta aos mesmos pares (x, v): no gráfico, uma curva fechada, linha de nível de E constante: E = ½mv² + U(x).
Por que em F = −dU/dx aparece o sinal de menos?: O menos aponta a força no sentido em que U diminui. Os sistemas «escorregam» para menor energia potencial. Para U = mgh, F = −mg aponta para baixo: h e U decrescem.
Há atrito neste modelo?: Não: o sistema é conservativo, E = KE + U permanece constante (salvo um pequeno desvio numérico). Na vida, a dissipação transforma energia mecânica em calor.

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