Est-ce de la relativité générale ?

Non. La courbure de la nappe est un dessin du potentiel newtonien U, pas la géométrie de l'espace-temps. Le mouvement de la bille se calcule d'après la pente : F = −∇U.

Pourquoi la bille tantôt « orbite », tantôt tombe dans le puits ?

Comme dans le problème à deux corps : avec une vitesse tangentielle convenable, la pente fournit l'accélération centripète et il y a orbite ; si la vitesse est trop petite, chute vers le centre ; si elle est trop grande, départ sur une hyperbole.

Quelles simplifications le modèle fait-il ?

Deux dimensions au lieu de trois ; le « soleil » ne se déplace pas vers la bille ; en général, pas de frottement sur la nappe, l'énergie de la bille se conserve. C'est une métaphore, pas un calcul d'orbites.

Comment la hauteur se relie-t-elle à l'énergie gravitationnelle ?

La hauteur est proportionnelle à −U. Plus bas, plus petite (plus négative) l'énergie potentielle. Plus la pente est raide, plus |∇h| est grand, plus la force vers le puits est forte.

Nappe élastique et bille

Hauteur de la surface ∝ −Σm/r ; la bille roule selon −∇h — métaphore d'immersion, pas la relativité générale.

À propos du modèle

Nappe élastique et bille : une nappe tendue à plat s'enfonce sous des masses — métaphore scolaire du potentiel de gravitation, pas un modèle de relativité générale. La hauteur h ∝ −Σ (G m_i / r_i) : le relief recopie le potentiel newtonien. La bille descend selon −∇h, c'est-à-dire dans le sens de la plus grande pente ; c'est ainsi que se voit le mouvement d'une masse d'épreuve dans le champ plat de Newton. Le mouvement reste sur la surface ; la hauteur est l'analogue de l'énergie potentielle, non la courbure de l'espace-temps. À l'écran, on voit comment la forme du potentiel donne la force.

Public : Seconde à Terminale et L1 : gravitation newtonienne, potentiel, gradient. Métaphore du champ, pas la relativité générale.

Notions clés

potentiel de gravitation
gradient
énergie potentielle
loi de la gravitation universelle
diagramme d'immersion

Comment ça marche

Puits de gravitation de musée : la hauteur de la nappe recopie le potentiel newtonien, la bille roule vers la vallée selon −∇h. Plusieurs masses donnent une superposition de puits. C'est une carte visible de U(x, y), pas l'espace-temps courbé de la relativité générale : les équations du mouvement sont celles de Newton.

Questions fréquentes

Est-ce de la relativité générale ?: Non. La courbure de la nappe est un dessin du potentiel newtonien U, pas la géométrie de l'espace-temps. Le mouvement de la bille se calcule d'après la pente : F = −∇U.
Pourquoi la bille tantôt « orbite », tantôt tombe dans le puits ?: Comme dans le problème à deux corps : avec une vitesse tangentielle convenable, la pente fournit l'accélération centripète et il y a orbite ; si la vitesse est trop petite, chute vers le centre ; si elle est trop grande, départ sur une hyperbole.
Quelles simplifications le modèle fait-il ?: Deux dimensions au lieu de trois ; le « soleil » ne se déplace pas vers la bille ; en général, pas de frottement sur la nappe, l'énergie de la bille se conserve. C'est une métaphore, pas un calcul d'orbites.
Comment la hauteur se relie-t-elle à l'énergie gravitationnelle ?: La hauteur est proportionnelle à −U. Plus bas, plus petite (plus négative) l'énergie potentielle. Plus la pente est raide, plus |∇h| est grand, plus la force vers le puits est forte.

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