Почему частица то разворачивается, то уходит «на бесконечность»?

Точки поворота задаёт сохранение энергии. Если E < U(x) на участке, кинетическая энергия E − U стала бы отрицательной — туда частица не заходит и разворачивается при U = E. Если E больше U всюду, движение инфинитное.

Что такое фазовая плоскость и почему траектория иногда — замкнутая петля?

Оси — положение x и скорость v; точка (x, v) полностью задаёт состояние. При периодическом движении (гармоническая яма) система возвращается к тем же парам (x, v) — на графике замкнутая кривая, линия уровня постоянной E: E = ½mv² + U(x).

Почему в F = −dU/dx стоит минус?

Минус направляет силу в сторону убывания U. Системы «скатываются» к меньшей потенциальной энергии. Для U = mgh сила F = −mg направлена вниз: h и U уменьшаются.

Есть ли в модели трение?

Нет: система консервативная, E = KE + U постоянна (кроме малого численного дрейфа). В жизни диссипация уводит механическую энергию в тепло.

Одномерное силовое поле

Q: Что такое фазовая плоскость и почему траектория иногда — замкнутая петля?

Оси — положение x и скорость v; точка (x, v) полностью задаёт состояние. При периодическом движении (гармоническая яма) система возвращается к тем же парам (x, v) — на графике замкнутая кривая, линия уровня постоянной E: E = ½mv² + U(x).

Q: Почему в F = −dU/dx стоит минус?

Минус направляет силу в сторону убывания U. Системы «скатываются» к меньшей потенциальной энергии. Для U = mgh сила F = −mg направлена вниз: h и U уменьшаются.

Q: Есть ли в модели трение?

Нет: система консервативная, E = KE + U постоянна (кроме малого численного дрейфа). В жизни диссипация уводит механическую энергию в тепло.

Заготовки U(x), F = −U′, шарик на потенциале, фазовая плоскость (x, v) и E(t).

Графики

О модели

Одномерное силовое поле задаётся потенциальной энергией U(x): консервативная сила F(x) = −dU/dx, движение материальной точки — ma = F(x), механическая энергия E = ½mv² + U(x) сохраняется. Шарик скользит без трения по кривой потенциала. Заготовки — гармоническая яма, двойная яма, ступенька-барьер: по форме U видно финитное и инфинитное движение. На экране — координата x, фазовая плоскость (x, v) и графики энергий. Трения нет, движение строго одномерное, частица — материальная точка. Устойчивость — в минимумах U, неустойчивость — в максимумах; кинетическая и потенциальная энергии переходят друг в друга.

Для кого: Углублённая школа и первый курс: потенциал, консервативные силы, фазовая плоскость.

Ключевые понятия

потенциальная энергия
консервативная сила
точка равновесия
фазовая плоскость
закон сохранения энергии
второй закон Ньютона

Как это работает

Одномерная консервативная динамика из потенциала U(x). Сила F = −dU/dx, поэтому полная энергия E = ½mv² + U(x) сохраняется (с учётом малого численного дрейфа). Гармоническая яма даёт эллиптические фазовые траектории; двойная яма допускает периодическое движение в одной потенциальной яме или более сложные траектории при достаточной энергии.

Основные формулы

F = −dU/dx · mẍ = F

E = ½mv² + U(x) · двухъямная: U ∝ x⁴/4 − x²/2

Часто задаваемые вопросы

Почему частица то разворачивается, то уходит «на бесконечность»?: Точки поворота задаёт сохранение энергии. Если E < U(x) на участке, кинетическая энергия E − U стала бы отрицательной — туда частица не заходит и разворачивается при U = E. Если E больше U всюду, движение инфинитное.
Что такое фазовая плоскость и почему траектория иногда — замкнутая петля?: Оси — положение x и скорость v; точка (x, v) полностью задаёт состояние. При периодическом движении (гармоническая яма) система возвращается к тем же парам (x, v) — на графике замкнутая кривая, линия уровня постоянной E: E = ½mv² + U(x).
Почему в F = −dU/dx стоит минус?: Минус направляет силу в сторону убывания U. Системы «скатываются» к меньшей потенциальной энергии. Для U = mgh сила F = −mg направлена вниз: h и U уменьшаются.
Есть ли в модели трение?: Нет: система консервативная, E = KE + U постоянна (кроме малого численного дрейфа). В жизни диссипация уводит механическую энергию в тепло.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 85 в «Классическая механика».

Вся категория →

НовоеШкольные