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Accueil/Mécanique classique/Chaînette

Chaînette

Fil flexible homogène entre appuis au même niveau : y = a cosh(x/a) ; flèche, longueur d’arc, tension.

Forme

95 px
180 px

Mesures

Longueur d’arc L617.5 (sim units)
Flèche au centre228.1 px

À propos du modèle

Un fil flexible homogène sous son propre poids prend la forme d’une chaînette, non d’une parabole. Dans des coordonnées d’origine au point le plus bas, y = a cosh(x/a), où a = T₀/(μg) est le rapport de la tension horizontale au poids par unité de longueur. On obtient une parabole si la charge est répartie uniformément selon l’horizontale (tablier d’un pont), et non selon la longueur du fil. La flèche est la profondeur du point bas ; la longueur d’arc vaut L = 2a sinh(s/a) pour une demi-portée s. La tension est tangente au fil ; |T| est minimale en bas et maximale aux appuis. Fil parfaitement flexible, inextensible, appuis au même niveau, statique.

Public : L1–L2 : statique, fonctions hyperboliques ; lycée approfondi — analyse appliquée.

Notions clés

  • chaînette
  • cosinus hyperbolique
  • tension
  • flèche
  • longueur d’arc
  • masse linéique
  • équilibre statique

Comment ça marche

Un fil homogène entre appuis au même niveau s’affaisse selon la chaînette y ∝ cosh(x/a), non selon une parabole. Le paramètre a fixe à quel point le profil est plat. Les vecteurs aux appuis indiquent la direction de la tension : plus le fil est pentu, plus |T| est grand à l’attache.

Formules

y = a cosh(x/a) + C · L = 2a sinh(s/a) pour une portée 2s

Questions fréquentes

Un câble suspendu est-il une parabole ou une chaînette ?
Un câble homogène sous son propre poids est une chaînette. La parabole apparaît lorsque la charge est répartie uniformément selon la portée horizontale (tablier d’un pont suspendu), et non selon la longueur du câble lui-même.
Que représente le paramètre a dans l’équation de la chaînette ?
a = T₀/(μg) est le rapport de la tension horizontale au point bas au poids par unité de longueur. Plus a est grand (on a plus tendu, ou le fil est plus léger), plus la courbe est plate et plus la flèche est petite.
Comment la tension varie-t-elle le long de la chaîne ?
La composante horizontale T_x est constante. La verticale croît avec le poids du tronçon depuis le point bas. La tension totale vaut T = √(T_x² + (μg y)²), où y est la hauteur au-dessus du bas. Minimum en bas, maximum aux appuis.
Qu’est-ce qui manque à ce schéma idéal ?
La raideur en flexion, l’allongement, une masse non uniforme, le vent et la dynamique. Les lignes aériennes et les haubans de ponts se calculent d’abord comme une chaînette, puis on ajoute ces corrections.