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Accueil/Mécanique classique/Câble sur un cylindre

Câble sur un cylindre

Rapport limite des tensions T₂ = T₁ e^{μφ} : coefficient de frottement μ et angle d'enroulement φ. Vue de dessus et graphe de T₂/T₁ en fonction de φ.

Équation du cabestan

0.28
195 °
120 N

Au seuil de glissement le long de l'arc de contact, la tension croît de façon exponentielle : T₂ = T₁ exp(μφ), φ en radians. Plusieurs tours additionnent φ.

Raccourcis clavier

  • •Espace / Entrée — valeurs par défaut
  • •R — réinitialiser

Mesures

μφ0.953rad
T₂/T₁2.593
T₂311.2N

Graphiques

À propos du modèle

Un câble enroulé autour d'un cylindre fixe retient une tension T₂ avec un effort T₁ bien plus faible à l'extrémité libre. À l'équilibre limite, T₂ = T₁ e^{μφ}, où μ est le coefficient de frottement et φ l'angle d'enroulement en radians (formule d'Euler–Eytelwein). Sur un petit élément d'arc, la réaction normale est proportionnelle à la tension et le frottement vaut μ dN ; l'intégration sur φ donne l'exponentielle. On peut faire varier μ, φ et T₁ ; le graphe montre comment T₂/T₁ croît avec l'angle d'enroulement. Le cylindre est rigide et immobile, le câble est parfaitement flexible, le frottement a atteint la limite partout.

Public : Terminale spécialité et L1 : frottement, statique, formule d'Euler pour un fil flexible.

Notions clés

  • formule d'Euler–Eytelwein
  • frottement
  • tension
  • coefficient de frottement
  • angle d'enroulement
  • équilibre limite

Comment ça marche

Un câble flexible embrasse un cylindre rugueux (cabestan, bitte, tambour de frein). À μ constant et pour un angle d'enroulement φ en radians, le rapport limite des tensions avant glissement est T₂/T₁ = e^{μφ}. Plusieurs tours augmentent beaucoup φ et, même avec un μ modeste, le gain de tension devient grand. À l'écran : vue de dessus et graphe de T₂/T₁ en fonction de φ.

Formules

T₂ = T₁ e^(μφ) (φ en radians)

μ est le frottement câble–tambour ; câble idéalement flexible, flexion négligeable.

Questions fréquentes

Pourquoi le rapport des tensions croît-il de façon exponentielle, et non linéaire ?
Le frottement sur chaque morceau d'arc dépend de la tension locale. Plus loin dans l'enroulement, T est plus grand, donc la réaction normale aussi, et l'apport de frottement sur le morceau suivant augmente. Intégrer ce « pourcentage sur pourcentage » donne e^{μφ}.
La formule reste-t-elle valable si le câble glisse déjà ?
T₂ = T₁ e^{μφ} est la condition de repos limite, lorsque le frottement vaut partout le frottement statique maximal. S'il y a glissement, on prend le coefficient cinétique, en général plus petit, et l'inertie du câble compte aussi. Ici l'on modélise la retenue statique limite.
Comment l'épaisseur et la raideur du câble gâtent-elles le schéma idéal ?
Le modèle prend le câble infiniment mince et flexible. Un câble épais ou raide résiste à la flexion, la pression sur le cylindre se répartit autrement et le frottement effectif change. Pour le calcul d'un cabestan, c'est déjà une correction d'ingénierie.
Où cela sert-il en pratique ?
Une amarre sur un cabestan ou une bitte : quelques tours, et une personne retient le câble d'un navire. Avec μ ≈ 0,3 et trois tours complets (φ = 6π), le rapport est de l'ordre de e^{0,3·6π} ≈ 500 : un effort de 10 N retient environ 5 kN.