Pourquoi un coin plus aigu donne-t-il une plus grande poussée ?

Le demi-angle θ est celui entre l’axe du coin et la face. Alors N = W/(2 sin θ) : plus sin θ est petit, plus l’effort normal est grand pour la même charge verticale W. À part, le rapport longueur/épaisseur pour le même angle vaut cot θ — c’est une autre grandeur, pas N/W.

Que signifie que la ligne de poussée sort du tiers médian de la voûte ?

Il apparaît une traction d’un côté du joint. La pierre et la maçonnerie ne travaillent presque pas en traction : le joint peut s’ouvrir, une rotule se forme, la voûte risque de s’effondrer. On donne donc aux voûtes une épaisseur suffisante par rapport à la portée, pour que la ligne de poussée reste dans le matériau.

Le frottement entre les pierres est-il pris en compte ?

Non : contacts sans frottement, pour ne garder que la géométrie de la compression et de la décomposition des forces. Dans une maçonnerie réelle, le frottement retient le cisaillement et permet des voûtes plus minces. Ici, c’est l’analyse au premier ordre.

Quel lien y a-t-il entre la poussée de la voûte et le coin ?

Les voussoirs sont comme une chaîne de coins retournés : le poids vertical devient des efforts de compression inclinés et une poussée horizontale aux naissances. Les culées doivent justement reprendre cette poussée.

Statique d’une voûte et d’un coin

Une voûte en pierre transmet la compression le long de l’arc ; le coin décompose une charge verticale en poussée latérale.

À propos du modèle

Une voûte en pierre tient par la compression : le poids de la clé et des voussoirs part le long de la courbe vers les culées. La ligne de poussée est la trajectoire de la résultante de compression ; la voûte est stable tant que cette ligne reste dans la section (dans le schéma de cours : dans le tiers médian de l’épaisseur). La pierre résiste mal à la traction : si la ligne de poussée sort de la section, le joint risque de s’ouvrir et une rotule d’apparaître. Un coin de demi-angle θ, sous une charge verticale W, donne sur chaque face un effort normal N = W/(2 sin θ) : plus le coin est aigu, plus la poussée latérale est grande. Le facteur cot θ est un autre nombre (longueur/épaisseur) ; on ne le confond pas avec N/W. Les blocs sont rigides, sans frottement ; la voûte est plane et symétrique.

Public : Terminale et L1 : statique, décomposition des forces, équilibre d’un solide.

Notions clés

équilibre statique
poussée
ligne de poussée
coin
effort normal
tiers médian

Comment ça marche

Voûte en plein cintre : flèches de compression le long de la tangente à l’arc. Coin : N/W = 1/(2 sin θ), où θ est le demi-angle du curseur ; cot θ est un facteur à part « longueur/épaisseur », à ne pas confondre avec N/W.

Questions fréquentes

Pourquoi un coin plus aigu donne-t-il une plus grande poussée ?: Le demi-angle θ est celui entre l’axe du coin et la face. Alors N = W/(2 sin θ) : plus sin θ est petit, plus l’effort normal est grand pour la même charge verticale W. À part, le rapport longueur/épaisseur pour le même angle vaut cot θ — c’est une autre grandeur, pas N/W.
Que signifie que la ligne de poussée sort du tiers médian de la voûte ?: Il apparaît une traction d’un côté du joint. La pierre et la maçonnerie ne travaillent presque pas en traction : le joint peut s’ouvrir, une rotule se forme, la voûte risque de s’effondrer. On donne donc aux voûtes une épaisseur suffisante par rapport à la portée, pour que la ligne de poussée reste dans le matériau.
Le frottement entre les pierres est-il pris en compte ?: Non : contacts sans frottement, pour ne garder que la géométrie de la compression et de la décomposition des forces. Dans une maçonnerie réelle, le frottement retient le cisaillement et permet des voûtes plus minces. Ici, c’est l’analyse au premier ordre.
Quel lien y a-t-il entre la poussée de la voûte et le coin ?: Les voussoirs sont comme une chaîne de coins retournés : le poids vertical devient des efforts de compression inclinés et une poussée horizontale aux naissances. Les culées doivent justement reprendre cette poussée.

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