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Startseite/Klassische Mechanik/Kettenlinie

Kettenlinie

Homogenes biegeschlaffes Seil zwischen gleich hohen Auflagern: y = a cosh(x/a); Durchhang, Bogenlänge, Seilkraft.

Form

95 px
180 px

Gemessene Größen

Bogenlänge L617.5 (sim units)
Durchhang in der Mitte228.1 px

Zum Modell

Die Kettenlinie: ein biegeschlaffes homogenes Seil nimmt unter dem eigenen Gewicht diese Form an, nicht die einer Parabel. In Koordinaten mit Ursprung im Tiefpunkt gilt y = a cosh(x/a), wobei a = T₀/(μg) das Verhältnis der horizontalen Seilkraft zum Gewicht pro Längeneinheit ist. Eine Parabel entsteht, wenn die Last gleichmäßig über die Horizontale verteilt ist (Fahrbahn einer Brücke), nicht über die Seillänge. Der Durchhang ist die Tiefe des Tiefpunkts; die Bogenlänge L = 2a sinh(s/a) für die halbe Spannweite s. Die Seilkraft zeigt tangential; |T| ist unten am kleinsten und an den Auflagern am größten. Das Seil ist vollkommen biegeschlaff, undehnbar, die Auflager liegen auf einer Höhe; Statik.

Für wen: Erstes und zweites Semester: Statik, Hyperbelfunktionen; Leistungskurs — angewandte Analysis.

Wichtige Begriffe

  • Kettenlinie
  • Kosinus hyperbolicus
  • Seilkraft
  • Durchhang
  • Bogenlänge
  • längenbezogene Masse
  • statisches Gleichgewicht

So funktioniert es

Ein homogenes Seil zwischen gleich hohen Auflagern hängt nach der Kettenlinie y ∝ cosh(x/a) durch, nicht nach einer Parabel. Der Parameter a bestimmt, wie flach der Durchhang ist. Die Pfeile an den Auflagern zeigen die Richtung der Seilkraft: je steiler das Seil, desto größer |T| in der Befestigung.

Wichtige Gleichungen

y = a cosh(x/a) + C · L = 2a sinh(s/a) bei der Spannweite 2s

Häufige Fragen

Ist ein hängendes Seil eine Parabel oder eine Kettenlinie?
Ein homogenes Seil unter dem eigenen Gewicht ist eine Kettenlinie. Eine Parabel entsteht, wenn die Last gleichmäßig über die horizontale Spannweite verteilt ist (Fahrbahn einer Hängebrücke), nicht über die Länge des Seils selbst.
Was bedeutet der Parameter a in der Gleichung der Kettenlinie?
a = T₀/(μg) — das Verhältnis der horizontalen Seilkraft im Tiefpunkt zum Gewicht pro Längeneinheit. Größeres a (stärker gespannt oder leichteres Seil) — die Kurve flacher, der Durchhang kleiner.
Wie ändert sich die Seilkraft längs der Kette?
Die horizontale Komponente T_x ist konstant. Die lotrechte wächst mit dem Gewicht des Stücks vom Tiefpunkt. Das volle T = √(T_x² + (μg y)²), wobei y die Höhe über dem Tiefpunkt ist. Minimum unten, Maximum an den Auflagern.
Was fehlt in diesem Idealschema?
Biegesteifigkeit, Dehnung, ungleichmäßige Masse, Wind und Dynamik. Freileitungen und Schrägseile von Brücken rechnet man zuerst als Kettenlinie und setzt diese Korrekturen danach dazu.