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Início/Mecânica clássica/Catenária

Catenária

Fio flexível homogêneo entre apoios no mesmo nível: y = a cosh(x/a); flecha, comprimento de arco, tração.

Forma

95 px
180 px

Grandezas medidas

Comprimento de arco L617.5 (sim units)
Flecha no centro228.1 px

Sobre o modelo

A catenária é a forma de um fio flexível homogêneo sob o próprio peso — não uma parábola. Com origem no ponto mais baixo, y = a cosh(x/a), em que a = T₀/(μg) é a razão entre a tração horizontal e o peso por unidade de comprimento. A parábola aparece se a carga se reparte de modo uniforme na horizontal (tabuleiro de uma ponte), não ao longo do fio. A flecha é a profundidade do ponto mais baixo; o comprimento de arco é L = 2a sinh(s/a) para o semivão s. A tração segue a tangente; |T| é mínimo embaixo e máximo nos apoios. O fio é perfeitamente flexível e inextensível; os apoios estão no mesmo nível; o problema é estático.

Para quem: Primeiro e segundo períodos: estática, funções hiperbólicas; ensino médio avançado — análise aplicada.

Conceitos-chave

  • catenária
  • cosseno hiperbólico
  • tração
  • flecha
  • comprimento de arco
  • densidade linear
  • equilíbrio estático

Como funciona

Um fio homogêneo entre apoios no mesmo nível pende em catenária y ∝ cosh(x/a), não em parábola. O parâmetro a diz quão suave é a flecha. As setas nos apoios mostram a direção da tração: quanto mais íngreme o fio, maior |T| na fixação.

Fórmulas principais

y = a cosh(x/a) + C · L = 2a sinh(s/a) com vão 2s

Perguntas frequentes

Um cabo suspenso é uma parábola ou uma catenária?
Um cabo homogêneo sob o próprio peso é uma catenária. A parábola aparece quando a carga se reparte de modo uniforme no vão horizontal (tabuleiro de uma ponte pênsil), não ao longo do próprio cabo.
O que significa o parâmetro a na equação da catenária?
a = T₀/(μg) — razão entre a tração horizontal no ponto mais baixo e o peso por unidade de comprimento. Maior a (mais tracionado ou fio mais leve) — curva mais suave, flecha menor.
Como a tração muda ao longo da cadeia?
A componente horizontal T_x é constante. A vertical cresce com o peso do trecho a partir do ponto mais baixo. A tração total é T = √(T_x² + (μg y)²), em que y é a altura acima do fundo. Mínimo embaixo, máximo nos apoios.
O que não entra neste esquema ideal?
Rigidez à flexão, alongamento, massa desigual, vento e dinâmica. Linhas de transmissão e estais de pontes se calculam primeiro como catenária; depois entram essas correções.