Подвешенный трос — это парабола или цепная линия?

Однородный трос под собственным весом — цепная линия. Парабола бывает, когда нагрузка распределена равномерно по горизонтальному пролёту (проезжая часть висячего моста), а не по длине самого троса.

Что означает параметр a в уравнении цепной линии?

a = T₀/(μg) — отношение горизонтального натяжения в нижней точке к весу единицы длины. Больше a (сильнее натянули или легче нить) — кривая положе, провес меньше.

Как меняется натяжение вдоль цепи?

Горизонтальная составляющая T_x постоянна. Вертикальная растёт с весом участка от нижней точки. Полное T = √(T_x² + (μg y)²), где y — высота над низом. Минимум внизу, максимум у опор.

Чего нет в этой идеальной схеме?

Жёсткости на изгиб, растяжения, неравномерной массы, ветра и динамики. Линии электропередачи и ванты мостов сначала считают как цепную линию, затем добавляют эти поправки.

Цепная линия

Однородная гибкая нить между опорами на одной высоте: y = a cosh(x/a); провес, длина дуги, натяжение.

О модели

Гибкая однородная нить под собственным весом принимает форму цепной линии, а не параболы. В координатах с началом в нижней точке y = a cosh(x/a), где a = T₀/(μg) — отношение горизонтального натяжения к весу единицы длины. Парабола получается, если нагрузка распределена равномерно по горизонтали (настил моста), а не по длине нити. Провес — глубина нижней точки; длина дуги L = 2a sinh(s/a) для полупролёта s. Натяжение направлено по касательной; |T| минимально внизу и максимально у опор. Нить абсолютно гибкая, нерастяжимая, опоры на одном уровне, статика.

Для кого: Первый–второй курс: статика, гиперболические функции; углублённая школа — прикладной анализ.

Ключевые понятия

цепная линия
гиперболический косинус
натяжение
провес
длина дуги
линейная плотность
статическое равновесие

Как это работает

Однородная нить между опорами на одном уровне провисает по цепной линии y ∝ cosh(x/a), а не по параболе. Параметр a задаёт, насколько провес пологий. Стрелки у опор показывают направление натяжения: чем круче нить, тем больше |T| в креплении.

Основные формулы

y = a cosh(x/a) + C · L = 2a sinh(s/a) при пролёте 2s

Часто задаваемые вопросы

Подвешенный трос — это парабола или цепная линия?: Однородный трос под собственным весом — цепная линия. Парабола бывает, когда нагрузка распределена равномерно по горизонтальному пролёту (проезжая часть висячего моста), а не по длине самого троса.
Что означает параметр a в уравнении цепной линии?: a = T₀/(μg) — отношение горизонтального натяжения в нижней точке к весу единицы длины. Больше a (сильнее натянули или легче нить) — кривая положе, провес меньше.
Как меняется натяжение вдоль цепи?: Горизонтальная составляющая T_x постоянна. Вертикальная растёт с весом участка от нижней точки. Полное T = √(T_x² + (μg y)²), где y — высота над низом. Минимум внизу, максимум у опор.
Чего нет в этой идеальной схеме?: Жёсткости на изгиб, растяжения, неравномерной массы, ветра и динамики. Линии электропередачи и ванты мостов сначала считают как цепную линию, затем добавляют эти поправки.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 85 в «Классическая механика».

Вся категория →

НовоеШкольные

Цепь соскальзывает со стола

Запустить симулятор

Однородная цепь на гладком краю стола: свисающая часть тянет, трение на столе удерживает. Ускорение растёт вместе со свесом s.

НовоеШкольные

Канат на цилиндре

Запустить симулятор

Предельное отношение натяжений T₂ = T₁ e^{μφ}: коэффициент трения μ и угол охвата φ. Вид сверху и график T₂/T₁ от φ.

НовоеШкольные

Блоки и полиспасты

Запустить симулятор

n несущих ветвей, одинаковое натяжение верёвки T, идеальный выигрыш в силе = n, F = T.

НовоеШкольные

Конический маятник

Запустить симулятор

Установившийся конус: ω(θ, L), векторы T и mg, сравнение периода обращения T_обр с периодом математического маятника T₀.

Школьные

Сила трения

Запустить симулятор

Трение покоя и трение скольжения; коэффициент трения задаётся ползунком.

НовоеШкольные

Статика арки и клина

Запустить симулятор

Каменная арка передаёт сжатие по дуге; клин раскладывает вертикальную нагрузку в боковой распор.

Цепная линия

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы

Похожие симуляторы

Цепь соскальзывает со стола

Канат на цилиндре

Блоки и полиспасты

Конический маятник

Сила трения

Статика арки и клина

Цепная линия

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы