Pourquoi l’accélération croît-elle quand plus de chaîne pend ?

La force motrice croît avec s, tandis que le frottement sur la table diminue comme (L−s). Les deux effets augmentent la résultante jusqu’à ce que le dernier maillon quitte le plateau.

Pour quel surplomb la chaîne est-elle juste à la limite du départ ?

Il y a repos tant que s ≤ μ_s(L−s), c’est-à-dire s_crit = μ_s L / (1 + μ_s). Un peu plus de partie pendante, et le frottement statique ne suffit plus : le glissement commence.

En quoi le modèle diffère-t-il d’une vraie chaîne ?

Le bord est lisse et la chaîne se plie comme un L rigide. Une chaîne réelle a une courbure au chant et du frottement interne, mais le bilan unidimensionnel montre déjà le duel entre le poids de la partie pendante et le frottement sur la table.

Chaîne qui glisse d’une table

Chaîne homogène au bord lisse d’une table : la partie pendante tire, le frottement sur le plateau retient. L’accélération croît avec le surplomb s.

À propos du modèle

Une chaîne qui glisse d’une table : chaîne homogène de masse linéique λ = M/L, posée sur une table horizontale à bord vertical lisse. Le tronçon qui pend, de longueur s, tire avec le poids λgs ; le tronçon sur la table (longueur L−s) fournit la réaction normale et le frottement μλg(L−s). En prenant la chaîne entière comme un seul système, l’accélération horizontale au glissement vaut a = (g/L)(s − μ(L−s)), une fois le frottement statique vaincu (s > μ_s(L−s)).

Public : Lycée et L1 : longueur variable de la partie pendante, frottement statique et frottement de glissement.

Notions clés

frottement statique
frottement de glissement
masse linéique
partie pendante critique
chaîne homogène

Comment ça marche

Une chaîne homogène de longueur L est sur la table, avec une partie pendante s. Le tronçon qui pend tire avec λgs ; sur la table le frottement est μλg(L−s). Tant que s ≤ μ_s(L−s), la chaîne repose ; après le départ, a = (g/L)(s − μ_k(L−s)). L’accélération croît : la traction augmente, le frottement diminue. À l’écran : partie pendante, vitesse et instant où la chaîne quitte la table. La courbure au chant n’est pas modélisée.

Formules

Glissement si : s > μ_s (L − s) ⇒ s_crit = μ_s L / (1 + μ_s)

a = (g/L)(s − μ_k(L − s)), ṡ = v, s̈ = a

Questions fréquentes

Pourquoi l’accélération croît-elle quand plus de chaîne pend ?: La force motrice croît avec s, tandis que le frottement sur la table diminue comme (L−s). Les deux effets augmentent la résultante jusqu’à ce que le dernier maillon quitte le plateau.
Pour quel surplomb la chaîne est-elle juste à la limite du départ ?: Il y a repos tant que s ≤ μ_s(L−s), c’est-à-dire s_crit = μ_s L / (1 + μ_s). Un peu plus de partie pendante, et le frottement statique ne suffit plus : le glissement commence.
En quoi le modèle diffère-t-il d’une vraie chaîne ?: Le bord est lisse et la chaîne se plie comme un L rigide. Une chaîne réelle a une courbure au chant et du frottement interne, mais le bilan unidimensionnel montre déjà le duel entre le poids de la partie pendante et le frottement sur la table.

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