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Inicio/Mecánica clásica/Catenaria

Catenaria

Hilo flexible y homogéneo entre apoyos a la misma altura: y = a cosh(x/a); flecha, longitud de arco, tensión.

Forma

95 px
180 px

Magnitudes medidas

Longitud de arco L617.5 (sim units)
Flecha en el centro228.1 px

Sobre el modelo

Un hilo flexible y homogéneo bajo su propio peso toma la forma de una catenaria, no de una parábola. Con el origen en el punto más bajo, y = a cosh(x/a), donde a = T₀/(μg) es la razón entre la tensión horizontal y el peso por unidad de longitud. La parábola aparece si la carga se reparte de manera uniforme en la horizontal (el tablero de un puente), no a lo largo del hilo. La flecha es la profundidad del punto más bajo; la longitud de arco es L = 2a sinh(s/a) para un semivano s. La tensión va por la tangente; |T| es mínima abajo y máxima en los apoyos. El hilo es perfectamente flexible, inextensible; los apoyos están al mismo nivel; el problema es estático.

Para quién: Primer y segundo curso: estática, funciones hiperbólicas; bachillerato avanzado — análisis aplicado.

Conceptos clave

  • catenaria
  • coseno hiperbólico
  • tensión
  • flecha
  • longitud de arco
  • densidad lineal
  • equilibrio estático

Cómo funciona

Un hilo homogéneo entre apoyos al mismo nivel cuelga según la catenaria y ∝ cosh(x/a), no según una parábola. El parámetro a fija cuán tendida es la flecha. Los vectores en los apoyos muestran la dirección de la tensión: cuanto más empinado el hilo, mayor |T| en el anclaje.

Fórmulas principales

y = a cosh(x/a) + C · L = 2a sinh(s/a) para un vano 2s

Preguntas frecuentes

¿Un cable colgado es una parábola o una catenaria?
Un cable homogéneo bajo su propio peso es una catenaria. La parábola aparece cuando la carga se reparte de manera uniforme a lo largo del vano horizontal (el tablero de un puente colgante), no a lo largo del cable mismo.
¿Qué significa el parámetro a en la ecuación de la catenaria?
a = T₀/(μg) es la razón entre la tensión horizontal en el punto más bajo y el peso por unidad de longitud. Mayor a (más tensión o hilo más ligero): la curva es más tendida y la flecha menor.
¿Cómo cambia la tensión a lo largo de la cadena?
La componente horizontal T_x es constante. La vertical crece con el peso del tramo desde el punto más bajo. La tensión total es T = √(T_x² + (μg y)²), donde y es la altura sobre el fondo. Mínimo abajo, máximo en los apoyos.
¿Qué falta en este esquema ideal?
Rigidez a flexión, alargamiento, masa no uniforme, viento y dinámica. Las líneas eléctricas y los tirantes de puentes se calculan primero como catenaria y luego se añaden esas correcciones.