Pourquoi la cycloïde est-elle plus rapide que la droite, alors que le chemin est plus long ?

Au départ la cycloïde est plus raide : la perle gagne plus vite de la vitesse, et le gain sur v l’emporte sur la longueur en trop. Le minimum est celui de l’intégrale ∫ ds/√(2gy), pas le plus court chemin.

L’arc de cercle de la comparaison est-il le seul qui passe par les deux points ?

Par deux points passe une famille de cercles ; ici c’est l’arc « concurrent » habituel des manuels, de centre sur la perpendiculaire à la corde — ce n’est pas la cycloïde.

Le frottement et la rotation de la perle sont-ils pris en compte ?

Non : point matériel, glissement sans pertes, pas d’énergie cinétique de rotation.

Brachistochrone race

Des perles glissent sur une droite, un arc de cercle et une cycloïde avec v = √(2gy) ; la cycloïde minimise le temps de descente.

À propos du modèle

Le problème de la brachistochrone, posé par Johann Bernoulli : selon quelle courbe une perle sans frottement descend-elle le plus vite entre deux points ? La réponse est la cycloïde ; elle est plus rapide que la corde et que l’arc de cercle joignant les mêmes extrémités. Le temps de descente est τ = ∫ ds/√(2gy), où y est la descente verticale depuis le départ commun (conservation de l’énergie : v = √(2gy)). Il n’y a pas de frottement ; la perle est un point matériel, sans rotation. La comparaison des courbes est synchrone selon le paramètre de parcours, et non avec trois horloges indépendantes.

Public : Calcul des variations et mécanique classique : brachistochrone, cycloïde.

Notions clés

brachistochrone
cycloïde
conservation de l’énergie
temps de descente
calcul des variations

Comment ça marche

Temps de descente sans frottement : ∫ ds/√(2gy), y — dénivelé parcouru à la verticale. La cycloïde entre les mêmes extrémités donne le minimum parmi les courbes comparées ; la droite et l’arc de cercle sont les concurrents habituels des exercices. Les perles avancent de façon synchrone selon le paramètre de parcours, pour comparer les formes.

Questions fréquentes

Pourquoi la cycloïde est-elle plus rapide que la droite, alors que le chemin est plus long ?: Au départ la cycloïde est plus raide : la perle gagne plus vite de la vitesse, et le gain sur v l’emporte sur la longueur en trop. Le minimum est celui de l’intégrale ∫ ds/√(2gy), pas le plus court chemin.
L’arc de cercle de la comparaison est-il le seul qui passe par les deux points ?: Par deux points passe une famille de cercles ; ici c’est l’arc « concurrent » habituel des manuels, de centre sur la perpendiculaire à la corde — ce n’est pas la cycloïde.
Le frottement et la rotation de la perle sont-ils pris en compte ?: Non : point matériel, glissement sans pertes, pas d’énergie cinétique de rotation.

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