Por que a cicloide é mais rápida que a reta, se o caminho é mais longo?

No começo a cicloide é mais íngreme: a conta ganha velocidade antes, e o ganho em v cobre o comprimento a mais. O mínimo vem da integral ∫ ds/√(2gy), não do caminho mais curto.

O arco de circunferência da comparação é o único que passa pelos dois pontos?

Por dois pontos passa uma família de circunferências; aqui está o arco «concorrente» usual dos livros, com centro na perpendicular à corda — não é a cicloide.

Entram o atrito e a rotação da conta?

Não: massa pontual, deslizamento sem perdas, sem energia cinética de rotação.

Brachistochrone race

Contas deslizam por uma reta, um arco de circunferência e uma cicloide com v = √(2gy); a cicloide dá o tempo mínimo de descida.

Sobre o modelo

O problema da braquistócrona, de Johann Bernoulli: por qual curva uma conta sem atrito desce entre dois pontos no menor tempo? A resposta é a cicloide; ela é mais rápida que a corda reta e que o arco de circunferência com os mesmos extremos. O tempo de descida é τ = ∫ ds/√(2gy), em que y é o desnível vertical desde a partida comum (conservação da energia: v = √(2gy)). Não há atrito; a conta é uma massa pontual e não há rotação. A comparação das curvas avança junta segundo o parâmetro da trajetória, não com três relógios independentes.

Para quem: Cálculo das variações e mecânica clássica: braquistócrona, cicloide.

Conceitos-chave

braquistócrona
cicloide
conservação da energia
tempo de descida
cálculo das variações

Como funciona

Tempo de descida sem atrito: ∫ ds/√(2gy), y é o desnível vertical percorrido. A cicloide entre os mesmos extremos dá o mínimo entre as curvas comparadas; a reta e o arco de circunferência são os concorrentes habituais do problema. As contas avançam juntas segundo o parâmetro da trajetória, para comparar as formas.

Perguntas frequentes

Por que a cicloide é mais rápida que a reta, se o caminho é mais longo?: No começo a cicloide é mais íngreme: a conta ganha velocidade antes, e o ganho em v cobre o comprimento a mais. O mínimo vem da integral ∫ ds/√(2gy), não do caminho mais curto.
O arco de circunferência da comparação é o único que passa pelos dois pontos?: Por dois pontos passa uma família de circunferências; aqui está o arco «concorrente» usual dos livros, com centro na perpendicular à corda — não é a cicloide.
Entram o atrito e a rotação da conta?: Não: massa pontual, deslizamento sem perdas, sem energia cinética de rotação.

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