Warum ist die Zykloide schneller als die Gerade, obwohl der Weg länger ist?

Am Anfang ist die Zykloide steiler: die Perle gewinnt schneller Geschwindigkeit, und der Gewinn in v überwiegt die zusätzliche Länge. Das Minimum liefert das Integral ∫ ds/√(2gy), nicht der kürzeste Weg.

Ist der Kreisbogen in diesem Vergleich der einzige durch die zwei Punkte?

Durch zwei Punkte geht eine Schar von Kreisen; hier steht der übliche Vergleichsbogen aus dem Lehrbuch mit dem Mittelpunkt auf der Mittelsenkrechten der Sehne — keine Zykloide.

Werden Reibung und die Rotation der Perle berücksichtigt?

Nein: Punktmasse, Gleiten ohne Verluste, keine Rotationsenergie.

Brachistochrone race

Perlen gleiten auf Gerade, Kreisbogen und Zykloide mit v = √(2gy); die Zykloide gibt die kürzeste Abstiegszeit.

Zum Modell

Die Brachistochrone ist die Kurve kürzester Fallzeit. Johann Bernoulli fragte, auf welcher Bahn eine Perle ohne Reibung zwischen zwei Punkten am schnellsten ankommt. Die Antwort ist die Zykloide; sie ist schneller als die gerade Sehne und der Kreisbogen durch dieselben Enden. Die Abstiegszeit ist τ = ∫ ds/√(2gy), wobei y der lotrechte Abstieg vom gemeinsamen Start ist (Energieerhaltung: v = √(2gy)). Reibung fehlt, die Perle ist eine Punktmasse, Rotation fehlt. Der Vergleich der Kurven läuft synchron im Bahnparameter, nicht mit drei unabhängigen Uhren.

Für wen: Variationsrechnung und klassische Mechanik: Brachistochrone, Zykloide.

Wichtige Begriffe

Brachistochrone
Zykloide
Energieerhaltungssatz
Abstiegszeit
Variationsrechnung

So funktioniert es

Abstiegszeit ohne Reibung: ∫ ds/√(2gy), y ist der zurückgelegte lotrechte Höhenunterschied. Die Zykloide zwischen denselben Enden gibt das Minimum unter den verglichenen Kurven; Gerade und Kreisbogen sind die üblichen Vergleichskurven im Aufgabenbuch. Die Perlen laufen synchron im Bahnparameter, damit man die Formen vergleicht.

Häufige Fragen

Warum ist die Zykloide schneller als die Gerade, obwohl der Weg länger ist?: Am Anfang ist die Zykloide steiler: die Perle gewinnt schneller Geschwindigkeit, und der Gewinn in v überwiegt die zusätzliche Länge. Das Minimum liefert das Integral ∫ ds/√(2gy), nicht der kürzeste Weg.
Ist der Kreisbogen in diesem Vergleich der einzige durch die zwei Punkte?: Durch zwei Punkte geht eine Schar von Kreisen; hier steht der übliche Vergleichsbogen aus dem Lehrbuch mit dem Mittelpunkt auf der Mittelsenkrechten der Sehne — keine Zykloide.
Werden Reibung und die Rotation der Perle berücksichtigt?: Nein: Punktmasse, Gleiten ohne Verluste, keine Rotationsenergie.

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