¿Por qué la cicloide es más rápida que la recta, si el camino es más largo?

Al principio la cicloide es más empinada: la cuenta gana velocidad antes, y la ventaja en v cubre el exceso de longitud. El mínimo lo da la integral ∫ ds/√(2gy), no el camino más corto.

¿El arco de circunferencia de la comparación es el único que pasa por los dos puntos?

Por dos puntos pasa una familia de circunferencias; aquí está el arco «competidor» habitual de los textos, con centro en la perpendicular a la cuerda: no es la cicloide.

¿Se tienen en cuenta la fricción y la rotación de la cuenta?

No: masa puntual, deslizamiento sin pérdidas, sin energía cinética de rotación.

Brachistochrone race

Cuentas que deslizan por una recta, un arco de circunferencia y una cicloide con v = √(2gy); la cicloide da el tiempo mínimo de descenso.

Sobre el modelo

El problema de Johann Bernoulli: ¿por qué curva una cuenta sin fricción baja entre dos puntos en el menor tiempo? La respuesta es la cicloide; es más rápida que la cuerda recta y que el arco de circunferencia con los mismos extremos. El tiempo de descenso es τ = ∫ ds/√(2gy), donde y es el desnivel vertical desde la partida común (conservación de la energía: v = √(2gy)). No hay fricción; la cuenta es una masa puntual y no hay rotación. La comparación de las curvas avanza al mismo ritmo según el parámetro de la trayectoria, no con tres relojes independientes.

Para quién: Cálculo de variaciones y mecánica clásica: braquistócrona, cicloide.

Conceptos clave

braquistócrona
cicloide
conservación de la energía
tiempo de descenso
cálculo de variaciones

Cómo funciona

Tiempo de descenso sin fricción: ∫ ds/√(2gy), y es el desnivel vertical recorrido. La cicloide entre los mismos extremos da el mínimo entre las curvas comparadas; la recta y el arco de circunferencia son los competidores habituales del problema. Las cuentas avanzan al mismo ritmo según el parámetro de la trayectoria, para comparar las formas.

Preguntas frecuentes

¿Por qué la cicloide es más rápida que la recta, si el camino es más largo?: Al principio la cicloide es más empinada: la cuenta gana velocidad antes, y la ventaja en v cubre el exceso de longitud. El mínimo lo da la integral ∫ ds/√(2gy), no el camino más corto.
¿El arco de circunferencia de la comparación es el único que pasa por los dos puntos?: Por dos puntos pasa una familia de circunferencias; aquí está el arco «competidor» habitual de los textos, con centro en la perpendicular a la cuerda: no es la cicloide.
¿Se tienen en cuenta la fricción y la rotación de la cuenta?: No: masa puntual, deslizamiento sin pérdidas, sin energía cinética de rotación.

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