Brachistochrone race
Задача Иоганна Бернулли о брахистохроне: по какой кривой бусинка без трения под действием тяжести скатится между двумя точками за кратчайшее время? Циклоида выигрывает у прямой хорды и у дуги окружности через те же концы, как на странице. Время считается как ∫ ds/√(2gy), y вниз от общего старта. Анимация гонки двигает бусинки синхронно по параметру пути для наглядности, а не воспроизводит три независимых физических часов.
Для кого: Введение в вариационное исчисление и задачники по классической механике.
Ключевые понятия
- Брахистохрона
- Циклоида
- Сохранение энергии
- Время спуска
- Иоганн Бернулли
Как это работает
Время спуска без трения считается как ∫ ds/√(2gy), где y — пройденный перепад по вертикали. Циклоида между теми же концами даёт минимум среди сравниваемых треков; прямая и дуга окружности — типичные конкуренты в учебниках. Кнопка анимации двигает бусинки синхронно по параметру для наглядной гонки.
Часто задаваемые вопросы
- Окружность на экране единственно возможная через две точки?
- Через две точки проходит семейство окружностей; здесь выбрана стандартная «конкурентная» дуга из учебников с центром на перпендикуляре к хорде — не циклоида.
- Учитываются ли трение и вращение бусинки?
- Нет: точечная масса, скольжение без потерь, без кинетической энергии вращения.
Ещё из «Классическая механика»
Другие симуляторы в этой категории — или все 84.
Цепочка связанных маятников
N маятников с пружинами между соседями по углу θ: волна после толчка в центре и отражения от концов.
Скользящая лестница
Гладкая стена и пол: θ̈ = −(3g/2L) cos θ; при отпускании из покоя реакция стены обнуляется при sin θ = (2/3) sin θ₀.
Угол естественного откоса
Песчаная куча на 1D-решётке: лавины до тех пор, пока уклоны соседних ячеек не станут ≤ μ = tan α; зелёная линия — ориентир.
Тележка с обратным маятником
Горизонтальная сила на тележку и шарнирный стержень: связанные (M+m)ẍ и mL²θ̈ для ручного баланса.
Игрушка «дятел»
Втулка с сухим трением на стержне: фаза прилипания, нагрузка пружиной, затем кинетическое проскальзывание — качественный цикл подпрыгивания.
Вихревое кольцо (дымовое)
Самодвижущийся тороидальный вихрь в 2D-сечении: пара контр-вращающихся ядер Лэмба–Озеена дрейфует со скоростью V_self ≈ Γ/(4πa).