Pourquoi ℛ₀ = β/γ ici ?

Dans le SIR à action de masse βSI et guérison γI, au début du foyer si S ≈ 1, un infecté cesse d’être contagieux avec l’intensité γ et en crée de nouveaux avec l’intensité βS ≈ β. Le rapport β/γ est ℛ₀. Si ℛ₀ ≤ 1, un foyer déterministe issu d’une petite fraction ne croît pas.

Que signifie le pointillé au niveau 1 − 1/ℛ₀ ?

Un repère pédagogique : quelle fraction d’immunisés, dans un modèle homogène, suffit pour que le ℛ effectif tombe sous l’unité. Pour une politique réelle, ce n’est pas une prévision : le mélange est hétérogène, l’immunité peut s’affaiblir, la vaccination n’est pas uniforme.

Pourquoi réinitialiser la série après un changement de β, γ ou des conditions initiales ?

Les courbes et le marqueur du pic se rapportent au parcours en cours. Changer les paramètres pendant l’intégration mélangerait des dynamiques différentes sur un même graphe. La réinitialisation remet le temps à zéro et reconstruit l’histoire depuis les I(0) et R(0) choisis.

Que manque-t-il à ce SIR simple ?

Pas de stade latent (SEIR), ni de démographie, ni de saisonnalité, ni d’espace, ni d’âges, ni de stochasticité des petits effectifs, ni de vaccination explicite. Modèle pédagogique de base, pas une prévision d’une maladie donnée.

Modèle SIR d’épidémie

S + I + R = 1 : βSI et γI ; ℛ₀ ≈ β/γ, seuil d’immunité collective 1 − 1/ℛ₀ ; graphe temporel RK4.

À propos du modèle

Le modèle SIR d’épidémie (susceptibles — infectés — rétablis) est le schéma classique à compartiments. On normalise la population : fractions S + I + R = 1. Les équations : S′ = −βSI, I′ = βSI − γI, R′ = γI, où β est l’intensité de transmission, γ le taux de guérison (inverse de la durée typique de contagiosité). Le nombre de reproduction de base ℛ₀ = β/γ — combien de cas secondaires un infecté produit en moyenne si S ≈ 1 ; si ℛ₀ > 1, le foyer croît d’abord. Seuil : S_crit ≈ 1/ℛ₀ ; la fraction immunisée ≈ 1 − 1/ℛ₀ dans un mélange homogène sans démographie — repère d’immunité collective. Intégration — RK4 à pas fixe et renormalisation de la somme des fractions ; sur le graphe S, I, R, le point rose — maximum de I(t), le pointillé si ℛ₀ > 1 au niveau 1 − 1/ℛ₀. Pas de naissances ni de décès, ni de saisonnalité, ni d’espace, ni de stochasticité.

Public : Modélisation mathématique en biologie et santé publique : modèles à compartiments et seuil épidémique.

Notions clés

modèle SIR
modèle à compartiments
nombre de reproduction de base ℛ₀
taux de transmission β
taux de guérison γ
immunité collective
méthode de Runge–Kutta

Comment ça marche

Le SIR partage la population en susceptibles S, infectés I et rétablis R. Avec S + I + R = 1 et les taux −βSI, βSI − γI, γI, le nombre de reproduction de base ℛ₀ ≈ β/γ fixe le seuil : si ℛ₀ > 1, le foyer croît jusqu’à ce que S descende sous 1/ℛ₀ ; la fraction immunisée 1 − 1/ℛ₀ est le repère d’immunité collective de ce modèle simplifié.

Formules

S' = −βSI · I' = βSI − γI · R' = γI

Questions fréquentes

Pourquoi ℛ₀ = β/γ ici ?: Dans le SIR à action de masse βSI et guérison γI, au début du foyer si S ≈ 1, un infecté cesse d’être contagieux avec l’intensité γ et en crée de nouveaux avec l’intensité βS ≈ β. Le rapport β/γ est ℛ₀. Si ℛ₀ ≤ 1, un foyer déterministe issu d’une petite fraction ne croît pas.
Que signifie le pointillé au niveau 1 − 1/ℛ₀ ?: Un repère pédagogique : quelle fraction d’immunisés, dans un modèle homogène, suffit pour que le ℛ effectif tombe sous l’unité. Pour une politique réelle, ce n’est pas une prévision : le mélange est hétérogène, l’immunité peut s’affaiblir, la vaccination n’est pas uniforme.
Pourquoi réinitialiser la série après un changement de β, γ ou des conditions initiales ?: Les courbes et le marqueur du pic se rapportent au parcours en cours. Changer les paramètres pendant l’intégration mélangerait des dynamiques différentes sur un même graphe. La réinitialisation remet le temps à zéro et reconstruit l’histoire depuis les I(0) et R(0) choisis.
Que manque-t-il à ce SIR simple ?: Pas de stade latent (SEIR), ni de démographie, ni de saisonnalité, ni d’espace, ni d’âges, ni de stochasticité des petits effectifs, ni de vaccination explicite. Modèle pédagogique de base, pas une prévision d’une maladie donnée.

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