Por que aqui ℛ₀ = β/γ?

No SIR com ação de massas βSI e recuperação γI, no começo do surto com S ≈ 1 um infectado deixa de ser infeccioso com intensidade γ e gera novos com intensidade βS ≈ β. A razão β/γ é o ℛ₀. Se ℛ₀ ≤ 1, o surto determinístico a partir de uma fração pequena não cresce.

O que significa o pontilhado no nível 1 − 1/ℛ₀?

É o marco didático: que fração imune, no modelo homogêneo, faz o ℛ efetivo cair abaixo de um. Para política real isso não é previsão: a mistura é heterogênea, a imunidade pode cair e a vacinação não se distribui de modo uniforme.

Por que reiniciar a série depois de mudar β, γ ou as condições iniciais?

As curvas e a marca do pico pertencem à corrida atual. Trocar parâmetros no meio misturaria dinâmicas diferentes no mesmo gráfico. O reinício zera o tempo e reconstrói a história a partir dos I(0) e R(0) escolhidos.

O que falta neste SIR simples?

Não há estágio latente (SEIR), demografia, sazonalidade, espaço, idades, estocasticidade de números pequenos nem vacinação explícita. É o modelo didático de base, não a previsão de uma doença concreta.

Modelo epidêmico SIR

S + I + R = 1: βSI e γI; ℛ₀ ≈ β/γ, limiar de imunidade coletiva 1 − 1/ℛ₀; gráfico no tempo por RK4.

Sobre o modelo

O modelo epidêmico SIR (suscetíveis — infectados — recuperados) é o esquema compartimental clássico de uma epidemia. A população é normalizada: frações S + I + R = 1. As equações: S′ = −βSI, I′ = βSI − γI, R′ = γI, em que β é a intensidade de transmissão e γ é a taxa de recuperação (inverso do tempo típico de infectividade). O número reprodutivo básico ℛ₀ = β/γ — quantos casos secundários, em média, um infectado gera com S ≈ 1; se ℛ₀ > 1 o surto começa a crescer. Limiar: S_crit ≈ 1/ℛ₀; a fração imune ≈ 1 − 1/ℛ₀ numa mistura homogênea sem demografia é o marco de imunidade coletiva. A integração é RK4 com passo fixo e renormalização da soma das frações; no gráfico, S, I, R, o ponto rosa é o máximo de I(t), e o pontilhado com ℛ₀ > 1 fica no nível 1 − 1/ℛ₀. Não há nascimentos nem mortes, sazonalidade, espaço nem estocasticidade.

Para quem: Modelagem matemática em biologia e saúde: modelos compartimentais e limiar epidêmico.

Conceitos-chave

modelo SIR
modelo compartimental
número reprodutivo básico ℛ₀
coeficiente de transmissão β
taxa de recuperação γ
imunidade coletiva
método de Runge–Kutta

Como funciona

O SIR parte a população em suscetíveis S, infectados I e recuperados R. Com S + I + R = 1 e taxas −βSI, βSI − γI, γI, o número reprodutivo básico ℛ₀ ≈ β/γ marca o limiar: se ℛ₀ > 1 o surto cresce até S cair abaixo de 1/ℛ₀; a fração imune 1 − 1/ℛ₀ é o marco de imunidade coletiva neste modelo simplificado.

Fórmulas principais

S' = −βSI · I' = βSI − γI · R' = γI

Perguntas frequentes

Por que aqui ℛ₀ = β/γ?: No SIR com ação de massas βSI e recuperação γI, no começo do surto com S ≈ 1 um infectado deixa de ser infeccioso com intensidade γ e gera novos com intensidade βS ≈ β. A razão β/γ é o ℛ₀. Se ℛ₀ ≤ 1, o surto determinístico a partir de uma fração pequena não cresce.
O que significa o pontilhado no nível 1 − 1/ℛ₀?: É o marco didático: que fração imune, no modelo homogêneo, faz o ℛ efetivo cair abaixo de um. Para política real isso não é previsão: a mistura é heterogênea, a imunidade pode cair e a vacinação não se distribui de modo uniforme.
Por que reiniciar a série depois de mudar β, γ ou as condições iniciais?: As curvas e a marca do pico pertencem à corrida atual. Trocar parâmetros no meio misturaria dinâmicas diferentes no mesmo gráfico. O reinício zera o tempo e reconstrói a história a partir dos I(0) e R(0) escolhidos.
O que falta neste SIR simples?: Não há estágio latente (SEIR), demografia, sazonalidade, espaço, idades, estocasticidade de números pequenos nem vacinação explícita. É o modelo didático de base, não a previsão de uma doença concreta.

Continue com temas próximos desta categoria — ou todos os 85 em «Visualização matemática».

Toda a categoria →

NovoEscola

SEIR / SEIRS

Abrir o simulador

S + E + I + R = 1: a latência σE atrasa a infectividade, recuperação γI; opcionalmente ωR → S; ℛ₀ = β/γ; gráfico por RK4.

NovoEscola

Crescimento tumoral (Gompertz)

Abrir o simulador

V(t)→K: Gompertz ou logística; quimioterapia −kV; RK4, comparação com a curva sem tratamento.

NovoUniversidade / pesquisa

Euler e RK4 (pêndulo)

Abrir o simulador

A mesma equação não linear do pêndulo simples e o mesmo passo h: o método de Euler explícito ao lado do de Runge–Kutta de quarta ordem.

NovoEscola

Lotka–Volterra

Abrir o simulador

Modelo clássico predador–presa: N′ = αN − βNP, P′ = δNP − γP. Plano de fases, integração de Runge–Kutta, ponto de equilíbrio (γ/δ, α/β).

NovoUniversidade / pesquisa

Regiões de estabilidade de Runge–Kutta

Abrir o simulador

Estabilidade absoluta no plano z = hλ para Euler explícito, RK2 e RK4: mova λ e h, compare |R(z)| e veja por que modos rígidos pedem passos explícitos pequenos.

NovoUniversidade / pesquisa

Retrato de fase

Abrir o simulador

Campo de direções e trajetórias no clique: harmônico, amortecimento, sela, nós, focos, pêndulo (RK4).

Modelo epidêmico SIR

Sobre o modelo

Como funciona

Fórmulas principais

Perguntas frequentes

Simuladores relacionados

SEIR / SEIRS

Crescimento tumoral (Gompertz)

Euler e RK4 (pêndulo)

Lotka–Volterra

Regiões de estabilidade de Runge–Kutta

Retrato de fase

Modelo epidêmico SIR

Sobre o modelo

Como funciona

Fórmulas principais

Perguntas frequentes