¿Por qué aquí ℛ₀ = β/γ?

En el SIR con acción de masas βSI y recuperación γI, al inicio del brote con S ≈ 1 un infectado deja de ser infeccioso con intensidad γ y genera nuevos con intensidad βS ≈ β. La razón β/γ es ℛ₀. Si ℛ₀ ≤ 1, el brote determinista a partir de una fracción pequeña no crece.

¿Qué significa el punteado en 1 − 1/ℛ₀?

Es una referencia didáctica: qué fracción inmune hace falta, en el modelo homogéneo, para que el ℛ efectivo caiga por debajo de uno. Para una política real no es un pronóstico: la mezcla no es homogénea, la inmunidad puede debilitarse y la vacunación no está repartida por igual.

¿Para qué restablecer la serie después de cambiar β, γ o las condiciones iniciales?

Las curvas y la marca del pico pertenecen a la corrida actual. Cambiar parámetros sobre la marcha mezclaría dinámicas distintas en una sola gráfica. Restablecer pone el tiempo a cero y arma de nuevo la historia desde los I(0) y R(0) elegidos.

¿Qué le falta a este SIR tan simple?

No hay etapa latente (SEIR), ni demografía, ni estacionalidad, ni espacio, ni edades, ni azar de números pequeños ni vacunación explícita. Es el modelo didáctico de base, no el pronóstico de una enfermedad concreta.

Modelo SIR de epidemia

S + I + R = 1: βSI y γI; ℛ₀ ≈ β/γ, umbral de inmunidad colectiva 1 − 1/ℛ₀; gráfica en el tiempo con RK4.

Sobre el modelo

El modelo SIR (susceptibles — infectados — recuperados) es el esquema compartimental clásico de una epidemia. La población se normaliza: las fracciones S + I + R = 1. Las ecuaciones: S′ = −βSI, I′ = βSI − γI, R′ = γI, donde β es la intensidad de transmisión y γ la tasa de recuperación (inversa del tiempo típico de infecciosidad). El número reproductivo básico ℛ₀ = β/γ es cuántos casos secundarios produce, en promedio, un infectado cuando S ≈ 1; si ℛ₀ > 1 el brote crece al inicio. Umbral: S_crit ≈ 1/ℛ₀; la fracción inmune ≈ 1 − 1/ℛ₀ en una mezcla homogénea sin demografía es la referencia de inmunidad colectiva. La integración es RK4 con paso fijo y renormalización de la suma de fracciones; en la gráfica S, I, R, el punto rosa es el máximo de I(t) y, si ℛ₀ > 1, hay un punteado en 1 − 1/ℛ₀. No hay nacimientos ni muertes, ni estacionalidad, ni espacio ni azar.

Para quién: Modelación matemática en biología y salud pública: modelos compartimentales y umbral epidémico.

Conceptos clave

modelo SIR
modelo compartimental
número reproductivo básico ℛ₀
coeficiente de transmisión β
tasa de recuperación γ
inmunidad colectiva
método de Runge-Kutta

Cómo funciona

El SIR parte la población en susceptibles S, infectados I y recuperados R. Con S + I + R = 1 y las tasas −βSI, βSI − γI, γI, el número reproductivo básico ℛ₀ ≈ β/γ fija el umbral: si ℛ₀ > 1 el brote crece hasta que S baja de 1/ℛ₀; la fracción inmune 1 − 1/ℛ₀ es la referencia de inmunidad colectiva en este modelo simplificado.

Fórmulas principales

S' = −βSI · I' = βSI − γI · R' = γI

Preguntas frecuentes

¿Por qué aquí ℛ₀ = β/γ?: En el SIR con acción de masas βSI y recuperación γI, al inicio del brote con S ≈ 1 un infectado deja de ser infeccioso con intensidad γ y genera nuevos con intensidad βS ≈ β. La razón β/γ es ℛ₀. Si ℛ₀ ≤ 1, el brote determinista a partir de una fracción pequeña no crece.
¿Qué significa el punteado en 1 − 1/ℛ₀?: Es una referencia didáctica: qué fracción inmune hace falta, en el modelo homogéneo, para que el ℛ efectivo caiga por debajo de uno. Para una política real no es un pronóstico: la mezcla no es homogénea, la inmunidad puede debilitarse y la vacunación no está repartida por igual.
¿Para qué restablecer la serie después de cambiar β, γ o las condiciones iniciales?: Las curvas y la marca del pico pertenecen a la corrida actual. Cambiar parámetros sobre la marcha mezclaría dinámicas distintas en una sola gráfica. Restablecer pone el tiempo a cero y arma de nuevo la historia desde los I(0) y R(0) elegidos.
¿Qué le falta a este SIR tan simple?: No hay etapa latente (SEIR), ni demografía, ni estacionalidad, ni espacio, ni edades, ni azar de números pequeños ni vacunación explícita. Es el modelo didáctico de base, no el pronóstico de una enfermedad concreta.

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