Pourquoi la droite en pointillés est-elle y = t, et non 2t ou 6t ?

Chaque pas vers un plus proche voisin a une longueur euclidienne unité, donc en moyenne un pas ajoute 1 à ||S||² pour une marche symétrique sur Z^d dans cette normalisation. Si l’on double la longueur du pas, la courbe et l’identité se mettent à l’échelle ensemble.

Que signifie l’estimation de la probabilité de retour avec un seuil fini τ_max ?

Chaque essai s’arrête soit à l’instant de premier retour τ, soit après τ_max pas sans retour. La fraction affichée est la part des retours avant censure. En dimension trois, il faut souvent un τ_max énorme pour approcher la vraie probabilité de retour : on lit donc une estimation à horizon fini.

En quoi cela diffère-t-il de la page « Marche aléatoire » ?

Là, l’accent est sur la droite et le plan, avec un angle aléatoire et une seule trace. Ici : réseau entier, moyenne d’ensemble ⟨r²⟩, histogramme et premier retour — récurrence dans le plan contre transience en dimension trois.

Marche aléatoire sur réseau 2D / 3D

Plus proches voisins sur Z² ou Z³ : moyenne d’ensemble ⟨r²⟩ avec la droite de référence y = t, histogramme de r² et estimation du premier retour (récurrence et transience).

À propos du modèle

La marche aléatoire simple et symétrique sur le réseau entier Z^d : un pas vers un plus proche voisin (4 directions sur Z², 6 sur Z³), de longueur unité. Un ensemble de marcheurs indépendants part de l’origine ; la moyenne empirique de r² = x² + y² (+ z²) suit l’identité E[r²] = t. Sur le graphe ⟨r²⟩(t) est tracée la droite y = t. L’histogramme de r² montre la dispersion autour de la moyenne. À part, on estime par Monte-Carlo le premier retour à l’origine : l’instant τ de la première visite en 0 pour t > 0. Dans le plan, la marche est récurrente (retour presque sûrement) ; en dimension trois, elle est transitoire : la probabilité de ne jamais revenir est strictement positive. C’est le côté concret du théorème de Pólya.

Public : Probabilités et physique statistique : marche sur réseau, déplacement quadratique moyen, récurrence de Pólya.

Notions clés

marche aléatoire simple
réseau Z^d
déplacement quadratique moyen
temps de premier retour
récurrence de Pólya
transience

Comment ça marche

Z² ou Z³, pas vers un plus proche voisin : ensemble de marcheurs, moyenne ⟨r²⟩ en fonction du temps avec y = t, histogramme de r², à part un Monte-Carlo du premier retour avec seuil τ_max ; comparaison de la récurrence 2D et de la transience 3D.

Formules

⟨S_t⟩ = 0, unit NN step: E[||S_t||²] = t; first return τ = inf{t>0 : S_t=0} (2D recurrent a.s., 3D finite prob per infinitely long walk).

Questions fréquentes

Pourquoi la droite en pointillés est-elle y = t, et non 2t ou 6t ?: Chaque pas vers un plus proche voisin a une longueur euclidienne unité, donc en moyenne un pas ajoute 1 à ||S||² pour une marche symétrique sur Z^d dans cette normalisation. Si l’on double la longueur du pas, la courbe et l’identité se mettent à l’échelle ensemble.
Que signifie l’estimation de la probabilité de retour avec un seuil fini τ_max ?: Chaque essai s’arrête soit à l’instant de premier retour τ, soit après τ_max pas sans retour. La fraction affichée est la part des retours avant censure. En dimension trois, il faut souvent un τ_max énorme pour approcher la vraie probabilité de retour : on lit donc une estimation à horizon fini.
En quoi cela diffère-t-il de la page « Marche aléatoire » ?: Là, l’accent est sur la droite et le plan, avec un angle aléatoire et une seule trace. Ici : réseau entier, moyenne d’ensemble ⟨r²⟩, histogramme et premier retour — récurrence dans le plan contre transience en dimension trois.

Poursuivez avec des thèmes proches de cette catégorie — ou les 85 de «Visualisation mathématique».

Toute la catégorie →

NouveauCollège–lycée

Marche aléatoire

Lancer la simulation

Pas sur une droite ou dans le plan : trajectoire et moyenne cumulée ⟨r²⟩ comme schéma de la diffusion.

NouveauCollège–lycée

Triangulation de Delaunay et diagramme de Voronoï

Lancer la simulation

Triangulation de Bowyer–Watson et diagramme de Voronoï dual : un clic ajoute des sites, un glissement les déplace.

NouveauCollège–lycée

Croissance tumorale (Gompertz / logistique)

Lancer la simulation

V(t)→K : Gompertz ou logistique ; chimiothérapie −kV ; RK4, comparaison avec la courbe sans traitement.

NouveauCollège–lycée

k-moyennes (algorithme de Lloyd)

Lancer la simulation

Points du plan, nombre de classes k et centroïdes de départ. Un pas de Lloyd : affectation au centre le plus proche et déplacement du centroïde au barycentre. Démonstration : mélange de gaussiennes ; somme des carrés intra-classes.

NouveauCollège–lycée

Réseau à deux couches et rétropropagation

Lancer la simulation

Deux caractéristiques et une étiquette binaire : couche cachée à tanh et sortie logistique. Gradient complet sur l’entropie croisée binaire moyenne ; carte de chaleur des probabilités et frontière de niveau 0,5 (XOR ou spirales).

NouveauUniversité

Monte-Carlo : intégration et réduction de variance

Lancer la simulation

Monte-Carlo ordinaire, échantillonnage préférentiel et stratification pour ∫f(x) dx : courbes de convergence, erreur-type et loi en 1/√N.

Marche aléatoire sur réseau 2D / 3D

À propos du modèle

Comment ça marche

Formules

Questions fréquentes

Simulations voisines

Marche aléatoire

Triangulation de Delaunay et diagramme de Voronoï

Croissance tumorale (Gompertz / logistique)

k-moyennes (algorithme de Lloyd)

Réseau à deux couches et rétropropagation

Monte-Carlo : intégration et réduction de variance

Marche aléatoire sur réseau 2D / 3D

À propos du modèle

Comment ça marche

Formules

Questions fréquentes