Por que o tracejado é a reta y = t, e não 2t ou 6t?

Cada passo ao vizinho mais próximo tem comprimento euclidiano unitário; por isso, em média, um passo acrescenta 1 a ||S||² na caminhada simétrica em Z^d nesta normalização. Se o passo dobrar, a curva e a identidade escalam juntas.

O que significa a estimativa da probabilidade de retorno com teto finito τ_max?

Cada ensaio termina no instante do primeiro retorno τ ou depois de τ_max passos sem voltar. A fração mostrada é a dos retornos antes da censura. Em três dimensões, para aproximar a probabilidade verdadeira de retorno, costuma-se precisar de τ_max enorme; por isso o valor lê-se como estimativa de horizonte finito.

Em que isto difere da página «Caminhada aleatória»?

Lá o acento está na reta e no plano com ângulo aleatório e num único rastro. Aqui entram a rede inteira, a média do conjunto ⟨r²⟩, o histograma e o primeiro retorno: recorrência no plano contra transiência em três dimensões.

Caminhada aleatória (rede 2D / 3D)

Vizinhos mais próximos em Z² ou Z³: média do conjunto ⟨r²⟩ com a reta de apoio y = t, histograma de r² e estimativa do primeiro retorno (recorrência e transiência).

Sobre o modelo

A caminhada aleatória simples e simétrica na rede inteira Z^d dá um passo até o vizinho mais próximo (4 direções em Z², 6 em Z³), de comprimento unitário. Um conjunto de caminhantes independentes parte da origem; a média amostral de r² = x² + y² (+ z²) acompanha a identidade E[r²] = t. No gráfico de ⟨r²⟩(t) está a reta y = t. O histograma de r² mostra a dispersão em torno da média. À parte, o método de Monte Carlo estima o primeiro retorno à origem: o instante τ da primeira visita a 0 com t > 0. No plano a caminhada é recorrente (volta quase certamente); em três dimensões é transiente: a probabilidade de nunca voltar é positiva. É o lado visível do teorema de Pólya.

Para quem: Probabilidade e física estatística: caminhada na rede, deslocamento quadrático médio, recorrência de Pólya.

Conceitos-chave

caminhada aleatória simples
rede Z^d
deslocamento quadrático médio
tempo de primeiro retorno
recorrência de Pólya
transiência

Como funciona

Z² ou Z³, passo ao vizinho mais próximo: conjunto de caminhantes, média ⟨r²⟩ no tempo com y = t, histograma de r², à parte Monte Carlo do primeiro retorno com teto τ_max; comparação da recorrência em 2D e da transiência em 3D.

Fórmulas principais

⟨S_t⟩ = 0, unit NN step: E[||S_t||²] = t; first return τ = inf{t>0 : S_t=0} (2D recurrent a.s., 3D finite prob per infinitely long walk).

Perguntas frequentes

Por que o tracejado é a reta y = t, e não 2t ou 6t?: Cada passo ao vizinho mais próximo tem comprimento euclidiano unitário; por isso, em média, um passo acrescenta 1 a ||S||² na caminhada simétrica em Z^d nesta normalização. Se o passo dobrar, a curva e a identidade escalam juntas.
O que significa a estimativa da probabilidade de retorno com teto finito τ_max?: Cada ensaio termina no instante do primeiro retorno τ ou depois de τ_max passos sem voltar. A fração mostrada é a dos retornos antes da censura. Em três dimensões, para aproximar a probabilidade verdadeira de retorno, costuma-se precisar de τ_max enorme; por isso o valor lê-se como estimativa de horizonte finito.
Em que isto difere da página «Caminhada aleatória»?: Lá o acento está na reta e no plano com ângulo aleatório e num único rastro. Aqui entram a rede inteira, a média do conjunto ⟨r²⟩, o histograma e o primeiro retorno: recorrência no plano contra transiência em três dimensões.

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