Почему пунктир — прямая y = t, а не 2t или 6t?

Каждый шаг к ближайшему соседу имеет единичную евклидову длину, поэтому в среднем один шаг добавляет 1 к ||S||² для симметричного блуждания на Z^d в этой нормировке. При удвоении длины шага и кривая, и тождество масштабируются согласованно.

Что значит оценка вероятности возврата при конечном пороге τ_max?

Каждый прогон заканчивается либо в момент первого возвращения τ, либо после τ_max шагов без возврата. Показанная доля — доля возвратов до цензурирования. В трёх измерениях для оценки истинной вероятности возврата часто нужны огромные τ_max, поэтому величину читают как оценку с конечным горизонтом.

Чем это отличается от страницы «Случайное блуждание»?

Там акцент на прямой и плоскости со случайным углом и на одном следе. Здесь — целочисленная решётка, ансамблевое среднее ⟨r²⟩, гистограмма и первое возвращение: рекуррентность на плоскости против транзиентности в трёх измерениях.

Блуждание на решётке 2D / 3D

Ближайшие соседи на Z² или Z³: ансамблевое среднее ⟨r²⟩ со опорной прямой y = t, гистограмма r² и оценка первого возвращения (рекуррентность и транзиентность).

Решёточное блуждание

Решётка

Блуждателей в ансамбле192

Шагов времени за кадр8

Макс. шагов первого возвращения12000

Прогонов MC за кадр10

Независимые блуждатели с общими часами: выборочное среднее r² следует E[r²]=t на Z^d с единичным шагом. Первое возвращение — отдельные MC-пути из начала; в 3D многие пути цензурируются (трансиентность).

Горячие клавиши

Пробел / Enter — пуск / пауза
P — пауза / продолжить
R — сброс

Измеренные величины

Глобальный шаг t0

⟨r²⟩ сейчас0.00

P(возврат), оценка—

Медиана τ (возвраты)—

Попыток MC0

О модели

Симметричное простое случайное блуждание по целочисленной решётке Z^d: шаг к ближайшему соседу (4 направления на Z², 6 на Z³), длина шага единица. Ансамбль независимых блуждателей стартует из начала координат; выборочное среднее r² = x² + y² (+ z²) отслеживает тождество E[r²] = t. На график ⟨r²⟩(t) нанесена прямая y = t. Гистограмма r² показывает разброс вокруг среднего. Отдельно методом Монте-Карло оценивают первое возвращение в начало: момент τ первого попадания в 0 при t > 0. На плоскости блуждание рекуррентно (возврат почти наверняка), в трёх измерениях — транзиентно: вероятность так и не вернуться положительна. Это наглядная сторона теоремы Пойи.

Для кого: Теория вероятностей и статистическая физика: решёточное блуждание, средний квадрат смещения, рекуррентность Пойи.

Ключевые понятия

простое случайное блуждание
решётка Z^d
средний квадрат смещения
время первого возвращения
рекуррентность Пойи
транзиентность

Как это работает

Z² или Z³, шаг к ближайшему соседу: ансамбль блуждателей, среднее ⟨r²⟩ по времени с y = t, гистограмма r², отдельно Монте-Карло первого возвращения с порогом τ_max; сравнение рекуррентности 2D и трансиентности 3D.

Основные формулы

⟨S_t⟩ = 0, unit NN step: E[||S_t||²] = t; first return τ = inf{t>0 : S_t=0} (2D recurrent a.s., 3D finite prob per infinitely long walk).

Часто задаваемые вопросы

Почему пунктир — прямая y = t, а не 2t или 6t?: Каждый шаг к ближайшему соседу имеет единичную евклидову длину, поэтому в среднем один шаг добавляет 1 к ||S||² для симметричного блуждания на Z^d в этой нормировке. При удвоении длины шага и кривая, и тождество масштабируются согласованно.
Что значит оценка вероятности возврата при конечном пороге τ_max?: Каждый прогон заканчивается либо в момент первого возвращения τ, либо после τ_max шагов без возврата. Показанная доля — доля возвратов до цензурирования. В трёх измерениях для оценки истинной вероятности возврата часто нужны огромные τ_max, поэтому величину читают как оценку с конечным горизонтом.
Чем это отличается от страницы «Случайное блуждание»?: Там акцент на прямой и плоскости со случайным углом и на одном следе. Здесь — целочисленная решётка, ансамблевое среднее ⟨r²⟩, гистограмма и первое возвращение: рекуррентность на плоскости против транзиентности в трёх измерениях.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 85 в «Визуализация математики».

Вся категория →

НовоеШкольные

Случайное блуждание

Запустить симулятор

Шаги на прямой или на плоскости: траектория и накопленное среднее ⟨r²⟩ как прообраз диффузии.

НовоеШкольные

Триангуляция Делоне и диаграмма Вороного

Запустить симулятор

Триангуляция Бойера–Уотсона и двойственная диаграмма Вороного: клик добавляет сайты, перетаскивание двигает.

НовоеШкольные

Рост опухоли (Гомперц / логистика)

Запустить симулятор

V(t)→K: Гомперц или логистика; химиотерапия −kV; РК4, сравнение с кривой без лечения.

НовоеШкольные

Метод k-средних (алгоритм Ллойда)

Запустить симулятор

Точки на плоскости, число кластеров k и стартовые центроиды. Шаг Ллойда: назначение к ближайшему центру и перенос центроида в центр масс. Демо — смесь гауссиан; внутрикластерная сумма квадратов.

НовоеШкольные

Двухслойная сеть и обратное распространение

Запустить симулятор

Два признака и бинарная метка: скрытый слой с tanh и логистический выход. Полный градиент по средней двоичной кросс-энтропии; теплокарта вероятности и граница уровня 0,5 (XOR или спирали).

НовоеУниверситет / научные

Монте-Карло: интегрирование и снижение дисперсии

Запустить симулятор

Обычный метод Монте-Карло, выборка по важности и стратификация для ∫f(x) dx: кривые сходимости, стандартная ошибка и скорость 1/√N.

Блуждание на решётке 2D / 3D

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы

Похожие симуляторы

Случайное блуждание

Триангуляция Делоне и диаграмма Вороного

Рост опухоли (Гомперц / логистика)

Метод k-средних (алгоритм Ллойда)

Двухслойная сеть и обратное распространение

Монте-Карло: интегрирование и снижение дисперсии

Блуждание на решётке 2D / 3D

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы