Почему пунктир — прямая y = t, а не 2t или 6t?

Каждый шаг к ближайшему соседу имеет **единичную евклидову длину**, поэтому в среднем один шаг добавляет **1** к **||S||²** для симметричного блуждания на **Z^d** в этой нормировке. При удвоении длины шага и кривая, и тождество масштабируются согласованно.

Что значит «P(return) est.» при конечном обрезании τ_max?

Каждый MC-прогон заканчивается либо в момент первого возвращения **τ**, либо после **τ_max** шагов без возврата. Отображаемая доля — доля возвратов до цензурирования; в **3D** для оценки истинной вероятности возврата часто нужны огромные **τ_max**, поэтому воспринимайте величину как **оценку с конечным горизонтом**.

Чем это отличается от страницы «Случайное блуждание» в разделе Math?

Там акцент на **1D** и **2D со случайным углом** для наглядного следа. Здесь — **целочисленная решётка**, **ансамблевое** среднее **⟨r²⟩**, **гистограмма** и **первое возвращение** для контраста **рекуррентность / трансиентность**.

Блуждание 2D / 3D (решётка)

Ближайшие соседи на Z² или Z³: ансамблевое среднее ⟨r²⟩ по времени с опорной прямой y = t, гистограмма r² по блуждателям и Монте-Карло первого возвращения (рекуррентность vs трансиентность).

Решёточное блуждание

Решётка

Блуждателей в ансамбле192

Шагов времени за кадр8

Макс. шагов первого возвращения12000

Прогонов MC за кадр10

Независимые блуждатели с общими часами: выборочное среднее r² следует E[r²]=t на Z^d с единичным шагом. Первое возвращение — отдельные MC-пути из начала; в 3D многие пути цензурируются (трансиентность).

Горячие клавиши

Пробел / Enter — пуск / пауза
P — пауза / продолжить
R — сброс

Измеренные величины

Глобальный шаг t0

⟨r²⟩ сейчас0.00

P(возврат), оценка—

Медиана τ (возвраты)—

Попыток MC0

О модели

Страница моделирует симметричное простое случайное блуждание по целочисленной решётке Z^d с шагами к ближайшим соседям (4 направления в 2D, 6 в 3D), каждый шаг имеет единичную длину. Ансамбль независимых блуждателей стартует из начала координат; на каждом такте времени каждый делает один независимый шаг, и симулятор считает выборочное среднее r² = x² + y² (+ z²), которое отслеживает тождество E[r²] = t для несмещённого NN-блуждания. На график ⟨r²⟩(t) нанесена опорная прямая y = t. Гистограмма r² по блуждателям в текущий момент показывает разброс вокруг среднего. Отдельно Монте-Карло траектории из начала оценивают первое возвращение: момент τ первого попадания в 0 при t > 0. В 2D блуждание рекуррентно (возврат почти наверняка), в 3D — транзиентно с ненулевой вероятностью «ухода», поэтому эмпирическая вероятность возврата до большого обрезания заметно падает при переключении размерности — наглядная иллюстрация теоремы Полиа и интуиции функции Грина без тяжёлого анализа.

Для кого: Бакалавры по теории вероятностей, диффузии или статфизике, уже видевшие «интуитивные» блуждания и желающие связать решёточное SRW, скейлинг MSD и рекуррентность в одном интерактивном окне.

Ключевые понятия

Простое случайное блуждание
Решётка Z^d
Средний квадрат смещения
Диффузия
Время первого возвращения
Рекуррентность Пойи
Трансиентность

Как это работает

Z² или Z³, шаг к ближайшему соседу: ансамбль блуждателей, среднее ⟨r²⟩ по времени с y = t, гистограмма r², отдельно Монте-Карло первого возвращения с порогом τ_max; сравнение рекуррентности 2D и трансиентности 3D.

Основные формулы

⟨S_t⟩ = 0, unit NN step: E[||S_t||²] = t; first return τ = inf{t>0 : S_t=0} (2D recurrent a.s., 3D finite prob per infinitely long walk).

Часто задаваемые вопросы

Почему пунктир — прямая y = t, а не 2t или 6t?: Каждый шаг к ближайшему соседу имеет единичную евклидову длину, поэтому в среднем один шаг добавляет 1 к ||S||² для симметричного блуждания на Z^d в этой нормировке. При удвоении длины шага и кривая, и тождество масштабируются согласованно.
Что значит «P(return) est.» при конечном обрезании τ_max?: Каждый MC-прогон заканчивается либо в момент первого возвращения τ, либо после τ_max шагов без возврата. Отображаемая доля — доля возвратов до цензурирования; в 3D для оценки истинной вероятности возврата часто нужны огромные τ_max, поэтому воспринимайте величину как оценку с конечным горизонтом.
Чем это отличается от страницы «Случайное блуждание» в разделе Math?: Там акцент на 1D и 2D со случайным углом для наглядного следа. Здесь — целочисленная решётка, ансамблевое среднее ⟨r²⟩, гистограмма и первое возвращение для контраста рекуррентность / трансиентность.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 85 в «Визуализация математики».

Вся категория →

НовоеШкольные

Случайное блуждание

Запустить симулятор

Шаги в 1D или 2D; траектория и текущее среднее ⟨r²⟩ для интуитивного понимания диффузии.

НовоеШкольные

Delaunay & Voronoi

Запустить симулятор

Bowyer–Watson triangulation and dual Voronoi tessellation; click to add seeds, drag to move.

НовоеШкольные

Рост опухоли (Гомперц / логистика)

Запустить симулятор

V(t)→K: Гомперц или логистика; химиотерапия −kV; RK4, сравнение с кривой без лечения.

НовоеШкольные

Кластеризация K-средних (Ллойд)

Запустить симулятор

Кликами добавляйте точки, выберите **k**, заново выберите **k** стартовых центроидов из точек, затем шагайте по **Ллойду** (назначение к ближайшему центроиду → центр тяжести кластера). Демо — смесь гауссиан; счётчик шагов и **SSE** внутри кластеров.

НовоеШкольные

Двухслойная сеть и обратное распространение (XOR / спираль)

Запустить симулятор

Точки с метками на плоскости; **tanh** в скрытом слое и **логистика** на выходе; полный **батч**-градиент по **BCE**; теплокарта **P(класс 1)** и движение границы **~0.5** по эпохам.

НовоеУниверситет / научные

Интегрирование Monte Carlo и variance reduction

Запустить симулятор

Сравнение plain Monte Carlo, importance sampling и stratified sampling для ∫f(x)dx: convergence curves, standard error и скорость 1/√N.

Блуждание 2D / 3D (решётка)

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы

Похожие симуляторы

Случайное блуждание

Delaunay & Voronoi

Рост опухоли (Гомперц / логистика)

Кластеризация K-средних (Ллойд)

Двухслойная сеть и обратное распространение (XOR / спираль)

Интегрирование Monte Carlo и variance reduction

Блуждание 2D / 3D (решётка)

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы