Страница моделирует симметричное простое случайное блуждание по целочисленной решёткеZ^d с шагами к ближайшим соседям (4 направления в 2D, 6 в 3D), каждый шаг имеет единичную длину. Ансамбль независимых блуждателей стартует из начала координат; на каждом такте времени каждый делает один независимый шаг, и симулятор считает выборочное среднееr² = x² + y² (+ z²), которое отслеживает тождество E[r²] = t для несмещённого NN-блуждания. На график ⟨r²⟩(t) нанесена опорная прямаяy = t. Гистограммаr² по блуждателям в текущий момент показывает разброс вокруг среднего. Отдельно Монте-Карло траектории из начала оценивают первое возвращение: момент τ первого попадания в 0 при t > 0. В 2D блуждание рекуррентно (возврат почти наверняка), в 3D — транзиентно с ненулевой вероятностью «ухода», поэтому эмпирическая вероятность возврата до большого обрезания заметно падает при переключении размерности — наглядная иллюстрация теоремы Полиа и интуиции функции Грина без тяжёлого анализа.
Для кого: Бакалавры по теории вероятностей, диффузии или статфизике, уже видевшие «интуитивные» блуждания и желающие связать решёточное SRW, скейлинг MSD и рекуррентность в одном интерактивном окне.
Ключевые понятия
Простое случайное блуждание
Решётка Z^d
Средний квадрат смещения
Диффузия
Время первого возвращения
Рекуррентность Пойи
Трансиентность
Как это работает
Z² или Z³, шаг к ближайшему соседу: ансамбль блуждателей, среднее ⟨r²⟩ по времени с y = t, гистограмма r², отдельно Монте-Карло первого возвращения с порогом τ_max; сравнение рекуррентности 2D и трансиентности 3D.
Основные формулы
⟨S_t⟩ = 0, unit NN step: E[||S_t||²] = t; first return τ = inf{t>0 : S_t=0} (2D recurrent a.s., 3D finite prob per infinitely long walk).
Часто задаваемые вопросы
Почему пунктир — прямая y = t, а не 2t или 6t?
Каждый шаг к ближайшему соседу имеет единичную евклидову длину, поэтому в среднем один шаг добавляет 1 к ||S||² для симметричного блуждания на Z^d в этой нормировке. При удвоении длины шага и кривая, и тождество масштабируются согласованно.
Что значит «P(return) est.» при конечном обрезании τ_max?
Каждый MC-прогон заканчивается либо в момент первого возвращения τ, либо после τ_max шагов без возврата. Отображаемая доля — доля возвратов до цензурирования; в 3D для оценки истинной вероятности возврата часто нужны огромные τ_max, поэтому воспринимайте величину как оценку с конечным горизонтом.
Чем это отличается от страницы «Случайное блуждание» в разделе Math?
Там акцент на 1D и 2D со случайным углом для наглядного следа. Здесь — целочисленная решётка, ансамблевое среднее ⟨r²⟩, гистограмма и первое возвращение для контраста рекуррентность / трансиентность.